２階微分方程式の解法

質問

t^2x"+t(2t^2-3)x'-(2t^2-3)x=0が解けません。
x=utとおいて
u"+{(2t^2-1)/t}u'=0とし
w=u'とおいて
w'+{(2t^2-1)/t}w=0とし
w=Cte^(-t^2)
とした後の部分積分が分かりません。
Maple8Jによると
te^(-t^2)の部分積分が
-(1/2)e^(-t^2)
となり、
手計算で解くと
te^(-t^2)-e^(-t^2)+c
となってしまい、最終的にはMaple8Jの
x=C1t+C2te^(-t^2)
となるはずの計算が合いません。
お力添えよろしくお願いします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

部分積分っていうか、不定積分ですよね？

te^(-t^2)の不定積分は、例えばs=t^2で置換すれば求まりますよ。

お礼

回答ありがとうございます。
「置換」という言葉と「例」でジワっと分かり、自分でもしかしてと思って解くことができました。
端的で助かりました。
また機会があれば、そのときもよろしくおねがいします。

回答No.2

noname#20644

w=Cte^(-t^2) を
u'=Cte^(-t^2) と書きます。
u'=C・(-1/2)・d(-t^2)/dt・e^(-t^2)
=C'・d{e^(-t^2)}/dt
ただし、C'=C・(-1/2)
これをC2と書けば、
u=C2・e^(-t^2)+C1
x=ut であるから、
x=C1・ｔ+C2・t・e^(-t^2)
となります。

お礼

回答ありがとうございました。
教えていただいて恐縮ですが、かなり急いでいたので、もう少し早く、端的であればもっとよかったです。
また機会がありましたら、そのときもよろしくおねがいします。