数学の証明

質問

数学の証明に関する問題で、疑問点があるので質問させてください

問題
三角形ABCの辺BC上に点Pをとり、AP上に点Dをとれば
三角形ABD:三角形ACD=BP:PC
であることを証明せよ
答え
BP:PC=三角形ABP:三角形APC・・・(1)
BP:PC=三角形DBP:三角形DPC・・・(2)
(1)－(2)
三角形ABD:三角形ACD=BP:PC
となるのですが、なぜ(1)と(2)が成り立つのかがわかりません。
底辺が同じ三角形ならば、高さの比は面積の比がいいたいのだと思うのですが…高さになってないような気がします。
よろしくお願いします

回答No.4

debut · ベストアンサー

この場合でしたら、高さが等しいとみたら簡単ではないでしょうか？

ＡからＢＣに垂線ＡＨを引くと、
・△ＡＢＰの底辺はＢＰ，高さはＡＨ。
・△ＡＰＣの底辺はＰＣ，高さはＡＨ。
　　　高さが等しいので、△ＡＢＰ：△ＡＰＣ＝ＢＰ：ＰＣ
ＤからＢＣに垂線ＤＩを引くと、
・△ＤＢＰの底辺はＢＰ，高さはＤＩ。
・△ＤＰＣの底辺はＰＣ，高さはＤＩ。
　　　高さが等しいので、△ＤＢＰ：△ＤＰＣ＝ＢＰ：ＰＣ

参考までに。

お礼

ありがとうございました！
非常にわかりやすいです。
返事が遅れて申し訳ありません

回答No.3

mmk2000

方針をしっかりと固めればそこまで難しくは無いと思いますよ。
（１）について
△ABPと△ACPをかんがえます。底辺をそれぞれBP、CPと考えると、高さってどこになりますか？両三角形ともにAからBCにおろした垂線ですよね？（ここで高さをAPと考えると×ですね。あくまでAからBCにおろした垂線が高さであり、別にその値は求めなくても良い。なぜなら、所詮「比」であり、実際の面積を求めるわけではないから）
もちろん
三角形の面積＝底辺×高さ÷２
なわけですから、高さが同じ三角形は底辺だけが面積の違いを表す数値になります。
だから、この場合底辺のBPとCPの比になるわけですね。（あくまで「比」であって実際の面積ではない）

式にあらわすと
△ABP：△ACP
＝（底辺BP）×高さ÷２：（底辺CP）×高さ÷２…高さは同じだから両方割って、両方とも2倍する
＝（底辺BP）：（底辺CP)

（２）は同じようにかんがえればOKだと思います。

お礼

なるほど！！
△ABPと△ACPの高さは同じですね！
そういうことでしたか。
自分の脳はなかなかひらめいてくれません。
やっぱりインプットが足りないのでしょうかねぇ。
ありがとうございました！！

回答No.2

noname#20377

説明その1

>底辺が同じ三角形ならば、高さの比は面積の比
なので

△ABP:△APC = BP :PC
△ABP/△APC = BP/PC
△ABP = △APC・BP/PC

△ABD:△ABP = AD:AP
△ABD/△ABP = AD/AP
△ABD = △ABP・AD/AP = △APC・BP/PC * AD/AP

△ADC:△APC = AD:AP
△ADC/△APC = AD/AP

△ADC = △APC・AD/AP

よって
△ABD:△ADC= BP : PC

説明その2
BとCから、APおよびその延長線上にそれぞれ垂直に線を引き、その交点をそれぞれQ,Rとすると
△BPQと△CPRの関係は・・・・

お礼

回答、ありがとうございます。
大変参考になりました。
証明は難しいですね。

回答No.1

magmi-shi

B，CからAPに垂線を下ろし，その足をそれぞれE，Fとします。△BEPと△CFPは∠BEP＝∠CFP＝90°，∠BPE＝∠CPF（対頂角）で相似です。△ABPも△DBPも高さはBE，△APCも△DPCも高さはCFで，上記の相似関係から
　BE：CF＝BP：CP
となります。これがそのまま面積比になりますから，(1)と(2)が成り立ちます。

ただ最初から△ABDと△ACDの高さを比べる方が早い気もしますが。

お礼

回答ありがとうございます。
疑問点があります。
∠BPE＝∠CPF（対頂角）
これはなぜ成り立つのでしょうか？対頂角ではないような気がします