フィックの第2法則のラプラス変換による解の求め方

質問

1次元で、半無限方向に食塩が拡散する現象を考え、時間t、位置x、濃度Ｃ、拡散係数Dとして、フィックの第2法則
∂Ｃ/∂t＝D×∂^2Ｃ/∂x^2
を解く問題です。
食塩部分は常に濃度Ｃs、無限遠方では濃度は０であることから、
初期条件、
Ｃ(x,0)＝Ｃ∞＝0
境界条件、
Ｃ(0,t)＝Ｃs
Ｃ(∞,t)＝Ｃ∞＝０
です。
　課題の解法では、ここでθ＝Ｃ-Ｃ∞とおき、拡散方程式を、
∂θ/∂t＝D×∂^2θ/∂x^2
と変形し、初期条件、
θ(x,0)＝0
境界条件、
θ(0,t)＝Ｃs
θ(∞,t)＝0
としています。ここでラプラス変換を行い、
　∞
∫　e^-pt×θ(x,t)dt＝Θ(x,p)
　0
とし、拡散方程式を変換するのですが、左辺はpΘ(x,p)になるのは分かったのですが、右辺の変換の仕方がわかりません。ヒントによると、
　　　　　　　　　∞
D×∂^2/∂x^2∫□dt＝□
　　　　　　　　　0
になるそうですが、□に入る式が分かりません。お願いします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

>∂θ/∂t＝D×∂^2θ/∂x^2
の両辺にe^(-pt)をかけて、tで積分しているだけだ、ということ

(大抵の場合は)tの積分とxの微分は入れ換えてもよいこと。

この２つはＯＫですか？

お礼

ご回答ありがとうございます。θが2変数関数なので積分と微分の入れ換えはできないのかなと思ってました。入れ換えたら解決しました。ありがとうございました。