大学数学の方程式の質問
数学の問題に関しての質問です。詳しい方にご回答お願いいたします。
私自身しっかり理解して、自分で出来るようになりたいので、なるべく詳しい解説と解答をお願いします。
１．関数u(x,y)に対しU(r,θ)=u(rcosθ,rsinθ)とおく。u(x,y)が{d^2u/dx^2}+{d^2u/dy^2}=0を満たすことと、U(r,θ)が{d^2U/dr^2}+{dU/dr}/r + {d^2U/dθ^2}/r^2 =0を満たすことは同値であることを示せ。
ここでr＞0とし(x,y)≠(0,0)とする。
２．u(x,y)=log{√(x^2+y^2)}は、(x,y)≠(0,0)のとき{d^2u/dx^2}-{d^2u/dy^2}=0をみたすことを示せ。
３．u(x,y)が√(x^2+y^2)＜1で{d^2u/dx^2}+{d^2u/dy^2}=0を満たしているとする。V(x,y)=u{x/(x^2+y^2),y/(x^2+y^2)}は√(x^2+y^2)＞1で{d^2V/dx^2}+{d^2V/dy^2}=0をみたすことを示せ。
４．x>0,t>0で波動方程式
{∂^2u/∂t^2}-{∂^2u/∂x^2}=0をみたし
境界条件
∂u(0,t)/∂x=0,t≧0
と初期条件
u(x,0)=(sin(π(x-1)))^2 1≦x≦2
=0 0≦x＜1または2＜x
∂u(x,0)/∂t=0,x≧0
をみたす解u(x,t)のu(x,3/2)(x≧0)のグラフを描け。
５.E(x,t)(t>0)を
E(x,t)=exp(-x^2/4t)/2√(πt)
で定義する。
f(x)をx∈Rで定義された連続で有界な関数とする。
初期条件
u(x,0)=f(x)(x∈R) …(１)
をみたす熱伝導方程式
{∂u(x,t)/∂t}-{∂^2u(x,t)/∂x^2}=0,t＞0,x∈R …(２)
を解u(x,t)をE(x,t)を用いて表せ。
m,Mを定数として関数f(x)がR上でm≦f(x)≦Mを満たせば、E(x,t)を用いて表された(１)を満たす(２)の解u(x,t)もt＞0でm≦u(x,t)≦Mとなることを示せ。
次に、関数f(x)がR上でf(-x)=f(x)を満たしているとする。E(x,t)を用いて表された(１)を満たす(２)の解u(x,t)は、t＞0で∂u(0,t)/∂x=0を満たすことを示せ。
(∫exp(-x^2)dx=√πであることは、自由に用いてもよい。(積分区間は－∞から∞))
６．移流方程式
{∂u(x,t)/∂t}-{∂u(x,t)/∂x}=0
を－∞＜t＜∞、－∞＜x＜∞で考える。初期条件
u(x,0)=sin(x)、－∞＜x＜∞
を満たす解を求めよ。
７．sをパラメータとして、波動方程式
{∂^2u/∂t^2}-{∂^2u/∂x^2}=0
の解で、初期条件
u(x,s)=0,－∞＜x＜∞
∂u/∂t=sin(x+s) ,－∞＜x＜∞
をみたす解u(x,t)を求めよ。その解をU(x,t,s)で表すとして、v(x,t)=∫U(x,t,s)ds(区間は0からt)を計算せよ。
そして、v(x,t)が非斉次の方程式
{∂^2u/∂t^2}-{∂^2u/∂x^2}=sin(x+t)
を満たすことを示せ。
８.x>0,t>0で波動方程式
{∂^2u/∂t^2}-{∂^2u/∂x^2}=0をみたし
境界条件
∂u(0,t)/∂x=0,t≧0
と初期条件
u(x,0)=(sin(π(x-1)))^2 1≦x≦2
=0 0≦x＜1または2＜x
∂u(x,0)/∂t=0,x≧0
をみたす解u(x,t)のu(x,3)(x≧0)のグラフを描け。
お願いします！(>人<)
