東京書籍 数III p166 章末問題 9

質問

問題文
F(x)= ∫ [x,2x] logt/t^2 dt (x>0)

（1）F'(x)を求めよ

解答
F(x)=∫ [0,2x] logt/t^2 dt - ∫ [0,x] logt/t^2 dt
u=2x とすると、du/dx=2

までは理解したのですが、その先が分かりません。

F'(x)=d/dx ∫ [0,2x] logt/t^2 dt - logx/x^2
=2d/du ∫ [0,u] logt/t^2 dt - logx/x^2
=2logu/u^2 - logx/x^2
=2log2x/4x^2 - logx/x^2
=(log2-logx)/2x^2

となるようなのです。

なぜ
F'(x)=log2x/(2x)^2 - logx/x^2
とならないのでしょうか？

解説、お願いします

回答No.1

ereserve67

>F(x)=∫ [0,2x] logt/t^2 dt - ∫ [0,x] logt/t^2 dt
ではなく，

☆F(x)=∫ [1,2x] logt/t^2 dt - ∫ [1,x] logt/t^2 dt

とでもすべきです．x=0でlogx/x^2は定義されないので．

さて，☆において，G(x)= ∫[1,x] logt/t^2 dtとおくと

☆F(x)=G(2x)-G(x)　

G'(x)=logx/x^2

です．したがって，

F'(x)=dG(2x)/dx-dG(x)/dx※=dG(2x)/d(2x)・d(2x)/dx-G'(x)=G'(2x)2-G'(x)=2G'(2x)-G'(x)

=2log(2x)/(2x)^2-logx/x^2=log(2x)/2x^2-logx/x^2=(log2+logx-2logx)/2x^2=(log2-logx)/2x^2

となります．=※のところで合成関数の微分法則

dG(f(x))dx=(dG/df)(df/dx)=G'(f(x))f'(x)

を使いました．（f(x)=2x）