拡散方程式の一般解が求まりません

質問

すみません、拡散方程式で解けない問題がありまして、どなたかご教授ください。
u(y,t)の位置(y)と時間(t)のみに依存する関数があり、
拡散方程式
du/dt=D*(d^2u/dy^2)　
（dは本来は偏微分のパーシャルdです。Dは定数）

境界条件は、
u(±h,t)=Ucosωt　（h,ωは定数）
となっています。これだけの条件では解けないのでしょうか？？すみませんができれば解のみではなく方針までお答えいただけると幸いです。よろしくお願いします。

回答No.2

noname#95312

この境界条件では解けそうにありません。
ちょっと条件を変え、u(±h,t)=U　として解いてみます。

(∂u_t(t)/∂t)/u_t(t)=D・(∂^2u_y(y)/∂y^2)/u_y(y)
と変形します。
すると、左辺は　t　のみ、右辺は　y　のみの函数なので両辺が定数に等しい。

この両辺の値を　λ　とすると
(du_t(t)/dt)/u_t(t)=λ　　　　　　　(*1)
(d^2u_y(y)/dy^2)/u_y(y)=λ/D　　(*2)

I）(*2) の式において、u_y(y) の曲率が正である場合
λ/D=B^2 とする。

(*1)より、∫du_t(t)/u_t(t)=∫λdt
ln{u_t(t)/u_t(t。)}=λ・(t-t。)　
u_t(t)=u_t(t。)・e^{λ・(t-t。)}
（ただし、ｔ。、u_t(t。) は、拡散開始時点と、そのときの u_y(t) の値とします）

(*2)より、(d^2u_y(y)/dy^2)/u_y(y)=B^2
d^2u_y(y)/dy^2-B^2・u_y(y)=0

この解は、u_y(y)=α・e^(By)+β・e^(-By)
と表わされる。

y=±h　において、u_y(y) は
u_y(h)=α・e^(Bh)+β・e^(-Bh),
u_y(-h)=α・e^(-Bh)+β・e^(Bh)
であり、境界条件より、u_y(±h)=U　なので、α=β でなければならない。
従って、u_y(±h)=2α・cosh(Bh)=U　で、これを満たすαは、α=U/{2・cosh(Bh)}
これを用いて、u_y(y)=U・cosh(By)/cosh(Bh)
（なお、これだけの条件では、B は定められない）

これから、
u(y,t)=u_t(t)・u_y(y)={U・u_t(t。)}・{cosh(By)/cosh(Bh)}・e^{DB^2・(t-t。)}
しかし、この場合、t の増加につれ、u(y,t) が増加し、発散するので、
条件を満たさず、これは解ではない。

II）(*2)　の式において、u_y(y) の曲率が負である場合
λ/D=-B^2 とする。

(*2)より、(d^2u_y(y)/dy^2)/u_y(y)=-B^2
d^2u_y(y)/dy^2+B^2・u_y(y)=0

この解は、u_y(y)=α・e^(i・By)+β・e^(-i・By)
と表わされる。

y=±h　において、u_y(y) は
u_y(h)=α・{cos(Bh) + i・sin(Bh)} +β・{cos(Bh) - i・sin(Bh)}、
u_y(-h)=α・{cos(Bh) - i・sin(Bh)} +β・{cos(Bh) + i・sin(Bh)}、
となるが、境界条件より、u_y(±h)=U　なので、α=β でなければならない。
従って、u_y(±h)=2α・cos(Bh)=U　でこれを満たすαは、α=U/{2・cos(Bh)}
これを用いて、u_y(y)=U・cos(By)/cos(Bh)

これから、
u(y,t)=u_t(t)・u_y(y)={U・u_t(t。)}・{cos(By)/cos(Bh)}・e^{λ・(t-t。)}

ここではλは負である。（というのは、λ/D=-B^2 であるから）
これを -λ' とすると、
u(y,t)={U・u_t(t。)}・{cos(By)/cos(Bh)}・e^{-λ'・(t-t。)}

しかし、u_y(y) の解には高調波も含めなくてはならない。
端の点で常に、u_y(±h)=U なので、n を自然数として
B(2h)=n・2π で、B=2nπ/(2h)=nπ/h、
cos(Bh)=cos(nπ)=±1　であるが、1 としておく。　（*3）

この 高調波に関する関数、パラメーターには、'_n' を付すことにする。

u_y_n(y)=U・cos(B_n・y)/cos(Bh) = U・cos{nπ(y/h)}

これに応じ、(*1)　の解も、λ'/D=B^2　より、λ'_n=D・B_n^2=D・(nπ/h)^2

∴　u_t_n(t)=u_t_n(t。)・e^[-{D・(nπ/h)^2}・(t-t。)]　となるが
この解は、n　が大きくなるにつれ急速に　0　に収斂する。
定常状態となるには、λ'_n=D・(nπ/h)^2=0　でなければならない。
λ_0=0　で、このときの　B_0　は、B_0=0
このとき、cos(B_0・h)=1 であり、(*3) の仮定が成立する。

結局、II）　の場合、
u(t,y)=Σ[n=0～∞]U・u_t_n(t。)・cos{nπ(y/h)}・e^[-{D・(nπ/h)^2}・(t-t。)]
となり、これが解である。

お礼

なるほど、大変参考になりました。初期条件の設定を変更すれば解けるんですね。
本当にありがとうございました。

回答No.1

piro2dog

変数分離法を適用してみてはいかがでしょうか。
※変数分離法を適用するための条件についてはご自身で調査して下さい。

変数分離法とは、u(y,t)が
yのみに依存する関数Y(y)と、
tのみに依存する関数T(t)との積で表せると仮定して解く方法です。

この場合、拡散方程式に、u(y,t)=Y(y)T(t)を代入すると、
Y(y)dT/dt=D(T(t)d^2Y/dy^2)　※dは常微分のd
となります。

これを変形すると
T'/T=D*(Y''/Y) ※U'はUのtでの微分、Y''はYのyでの二階微分
となり、左辺がtのみの関数、右辺がyのみの関数となり、
結局、左辺も右辺も定数であると分かります。

なので、T'/T=D*(Y''/Y)=C(定数)とおくと、
T'=CT
Y''=(C/D)Y
と単純な二つの常微分方程式が得られます。
あとはこれを解くだけです。

お礼

変数分離法はこちらもやってみたのですが、
その場合
T=exp(Ct)
と表現されてしまうため、境界条件とうまく適合されません。
Cを虚数としてRe(T)（Tの実部分）としてみたところそれ以降どう扱えばいいかわからず頓挫してしまいました。

貴重なご意見ありがとうございました。