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無理関数の積分

x/√{2-x-x^2}を積分するのですが答えと合いません。 √{2-x-x^2}=√{(x+2)(1-x)}=(1-x)√{(x+2)/(1-x)} √{(x+2)/(1-x)}=tとおくと、 x=(t^2-2)/(t^2+1)、dx/dt=6t/(t^2+1)^2となります。 これを使って∫x/√{2-x-x^2}dxを書き換えると、 ∫2(t^2-2)/(t^2+1)^2dtとなるはずなのですが、どうしてもなりません。どこかまちがいがあれば指摘してください。お願いします。

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  • debut
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回答No.1

1-x=1-(t^2-2)/(t^2+1)=(t^2+1-t^2+2)/(t^2+1)=3/(t^2+1)だから、 (1-x)√{(x+2)/(1-x)}={3/(t^2+1)}*t=3t/(t^2+1)で、 x/[(1-x)√{(x+2)/(1-x)}]dx ={(t^2-2)/(t^2+1)}*{(t^2+1)/3t}*{6t/(t^2+1)^2}dt =2(t^2-2)/(t^2+1)^2dt となります。 xもdx/dtも間違っていません。それ以外は途中経過がわからないので 指摘できませんが、√{2-x-x^2}を入れるときに逆数にしなかったとか？

miranista
質問者

お礼

回答ありがとうございました。1-xが間違っていたみたいでした。

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