三角形の内角の和が２７０度？

質問

友達からの依頼です。
『内角の和が270度である一辺の長さがaの正三角形の面積を求めなさい』という問題がわかりません。
答えもわからないのですが、その前に三角形の内角の和が２７０度だというのもわけが分かりません。１８０度じゃないんですか？
ですので、内角の和が２７０度の説明と、答えを教えて下さい。
お願いします！！

回答No.8

starflora

少し違う形の回答をします。

　　このサイトでは、質問の意味が曖昧であったり、質問者の言葉だけでは、何が質問なのか、分からない場合や、複数の回答の可能性があったり、よく分からないことが多々あります。それでも、回答者は、よく分からない質問の背景などを想定したり、色々と工夫して回答を書くことが多いです。

　　この問題の場合、「球面幾何学において」という前提が抜けているのかも知れません。あるいは同じことですが、「正三角形」は実は「球面正三角形」のことで、「球面」という言葉が抜けているのかも知れません。

　　これまでの回答は、この「球面幾何学」とか「球面正三角形」の表現が、問題で抜けていると判断して、それを補って回答しているのだと云えます。しかし、本当に正確に言うなら：

　　＞『内角の和が270度である一辺の長さがaの正三角形の面積を求めなさい』

　　この問題に対する「正解」は、数学的には、「答えなし」です。「設問が矛盾している」、が理由です。

　　「正三角形」に「球面正三角形」を補って答えになると言うのなら、別の補いや訂正で答えが出れば、それも答えでよいはずです。困ったことに、こういう質問は、「正解」と称するものがあるのです。本当は、上の形の設問だけなら、「解なし」が正解なのですが、『「内角の和が２７０度」と言っている点だけで、これが球面幾何学の問題と分からなければおかしい』とか言う理屈を付ける人がいるかも知れません。しかし、そんな理屈は、数学の問題ではおかしいでしょう。設問について、「解釈」せよというのなら、例えば：

　　「内角の和が２７０度」……面積を求めるのに、そもそも内角の和など必要ないはずである。しかし、必要な場合もある。それは、どういう幾何学図形なのか分からない場合で、「内角の和」を示すことで、その幾何学図形が指定できるような設問の場合である……こういう風にも考えられるのです。（球面三角形というのは、どういう幾何学図形か分からないので、それに近い、内角の和を指定しないと面積が出てこない、球面上の図形を考えているのです）。

　　この場合、設問に、二カ所「書き間違い」があるとすると、別の回答がでます。（「球面正三角形」をただの「正三角形」とするのも、正確には「書き間違い」なのです）。

　　＞『内角の和が720度である一辺の長さがaの正多角形の面積を求めなさい』

　　こういう風に、問題を修正すれば、設問は数学的問題になり、回答も出てきます。内角の和が７２０度の正多角形というのは、正六角形です。この一辺をａとすると、面積は、６Ｘ（ａ^2*√３/４）つまり、ａ^2*（３√３/２）です。

　　「球面幾何学で」とか、「球面正三角形」を補って正解になるのなら、こういう風に設問が書き間違えられていると解釈して答えを出すことも可能なはずであるし、これが、「間違い」だとは、云えないのです。何故なら、元々の設問の形では、「解なし」だからです。