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漸化式(階差数列使用)

a_1=3 、a_n+1=3a_n -4で定義される一般項a_nを求めよで、 辺辺引いたりしてa_n+1-a_n=3(a_n -a_n-1) (n≧2) a_n+1 -a_n=b_nでb_n=3b_n-1 (n≧2)また、b_1=2よって {b_n}は初項2 公比3の等比数列であるからb_n=2・3^n-1(n≧1)ここまではわかるのですが、ここ以降何をしてるのかよくわかりません。 先を見ると ゆえに、n≧2のとき a_n=a_1+Σ(k=1~n-1)2・3^k-1=3^n-1 +2 となっています・・・・ここの詳しい解説をしてもらえないでしょうか

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  • 回答No.4

今回はa(n+1)+A=3{a(n)+A}と置いてAを求めた方が等比級数の積として簡単にとけると思います。

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  • 回答No.2
  • 4951snk
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a_n=a_1+Σ(k=1~n-1)2・3^k-1 というのは、 a_n=a_1+Σ(k=1~n-1)b_k ということです。  階差数列は、『数列の「各項の差」からなる数列を元の数列の階差数列と言います。』ので、各項の差を足していくΣが必要になります。

参考URL:
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/kaisa.html

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  • 回答No.1

b_n=a_n+1-a_n=2・3^n-1 ですから、 a_n+1=a_n+2・3^n-1 です。 これから、 a_n=a_n-1+2・3^n-2 ですから、代入すると a_n+1=a_n-1+2・3^n-2+2・3^n-1 となります。これをa_n-1からa2まで繰り返して代入していくと a_n+1=a_1+2・3^0+2・3^1+2・3^2+・・・+2・3^n-1 となります。a_1以外は等比数列の和です。 n≧2のときはa_n=a_1+Σ(k=1~n-1)2・3^k-1 になります。 階差数列の性質ですので覚えておいてもいいです。

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