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漸化式（階差数列使用）
a_1=3 、a_n+1=3a_n -4で定義される一般項a_nを求めよで、 辺辺引いたりしてa_n+1-a_n=3(a_n -a_n-1) (n≧２) a_n+1 -a_n=b_nでb_n=3b_n-1 (n≧２)また、b_1=2よって {b_n}は初項２ 公比３の等比数列であるからb_n=2・3^n-1(n≧１)ここまではわかるのですが、ここ以降何をしてるのかよくわかりません。 先を見ると ゆえに、ｎ≧２のとき a_n=a_1+Σ（k=1～ｎ-1）2・3＾k-1＝3^n-1 +2 となっています・・・・ここの詳しい解説をしてもらえないでしょうか
- hirohiro8888
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- endlessriver
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今回はa(n+1)＋A=3{a(n)＋A}と置いてAを求めた方が等比級数の積として簡単にとけると思います。
- karura_gq
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b_nの式にn=1、2・・・n-1を代入してみましょう。 a_2-a_1=b_1 a_3-a_2=b_2 a_4-a_3=b_3 (中略) a_n-a_n-1=b_n-1 となりますよね。 これを左辺、右辺同士加算すると左辺の途中は上手く相殺されて a_n-a_1=Σ(b_n) (n≧2)となります。(右辺は1～n-1までの和) よって、a_n=a_1+Σ(b_n) =3 +2・3^(n-1)-1/(3-1) =3 +3^(n-1) - 1 =3^(n-1) + 2 となります。
- 4951snk
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a_n=a_1+Σ（k=1～ｎ-1）2・3＾k-1 というのは、 a_n=a_1+Σ（k=1～ｎ-1）b_k ということです。 階差数列は、『数列の「各項の差」からなる数列を元の数列の階差数列と言います。』ので、各項の差を足していくΣが必要になります。
- o2studio
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b_n=a_n+1－a_n＝2・3^n-1 ですから、 a_n+1＝a_n＋2・3^n-1 です。 これから、 a_n＝a_n-1＋2・3^n-2 ですから、代入すると a_n+1＝a_n-1＋2・3^n-2＋2・3^n-1 となります。これをa_n-1からa2まで繰り返して代入していくと a_n+1＝a_1＋2・3^0＋2・3^1＋2・3^2＋・・・＋2・3^n-1 となります。a_1以外は等比数列の和です。 ｎ≧２のときはa_n=a_1+Σ（k=1～ｎ-1）2・3＾k-1 になります。 階差数列の性質ですので覚えておいてもいいです。
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