Cauchy-Riemannの関係式の極座標表示

質問

z=re^(iθ)のとき正則関数w=w(z)はw(z)=u(r,θ)+v(r,θ)と表すとして、
このu,vについてCauchy-Riemannの関係式の極座標表示ってどうなりますか？
u_r=(1/r)*v_θでu_r≠v_θになってしまうのですが、どういうことなのでしょうか？

回答No.4

ojisan7

すみません。計算ミスをしていました。極座標表示のCauchy-Riemannの関係式は、かなり簡単になりました。正しくは、
[u_r]○○○[0　 -1][u_θ]
[v_r]=(-1/r)[1　 0][v_θ]
となります。つまり、
u_r=(1/r)*v_θ　と　v_r=(-1/r)*u_θ
となります。直角座標のCauchy-Riemannの関係式とよく似た形式になりましたね。

回答No.3

ojisan7

極座標は直角座標とは異なり、Cauchy-Riemannの関係式は複雑になります。行列表示で書けば、
[u_r]○○○[sin2θ　 cos2θ][u_θ]
[v_r]=(-1/r)[-cos2θ　sin2θ][v_θ]
となると思いますが、まだ検算はしていませんので、正しいかどうかの保証はありません。ご自分で、計算してみて下さい。計算は簡単ですが、めんどくさいですね。尚、上式の○印は空白だと思って下さい。これは、行列のラインが崩れるのを防ぐために挿入しました。

回答No.2

yumisamisiidesu

局座標ではz=re^(iθ)でありz=r+iθではないのでコーシー・リーマンの関係式(uz=-vθ,uθ=vr)が成り立たなくなると思います.ただz=x+iyによる変数でコーシー・リーマンの関係式が成り立てばそれを局座標に変換して局座標における表示を得ることができると思います.

回答No.1

12m24

x = r cosθ
y = r sinθ

と言うのはお分かりだと思います。で、
∂u/∂x = ∂u/∂r　・　∂r/∂x
　　　　　= ∂u/∂r　・　（∂x/r）^(-1)
と言うようになるので、

∂u/∂x = ∂u/∂r ・ (cosθ)^(-1)

となります。以下省略としますが、これを直交座標のコーシー・リーマンの方程式のすべての項について行えば、この方程式の極座標形式が得られます。

お礼

ああっ、勘違いしていました。

しかし
＞∂u/∂x = ∂u/∂r ・ (cosθ)^(-1)
は間違いじゃありませんか？
確かに結果的に同じ方程式は導出できますが、
x=x(θ)なので（∂x/r）^(-1)は成り立たないと思います。

r=sqrt(x^2+y^2)
r_x = ∂r/∂x = 2x/2(x^2+y^2) = rcosθ/r = cosθ
u_x = ∂u/∂x = (∂u/∂r)(∂r/∂x) + (∂u/∂θ)(∂θ/∂x)
　　= (∂u/∂r)cosθ - (∂u/∂θ)(sinθ/r)

だと思います。