球座標系の複素数表示について

質問

球座標系を1つの虚数単位 i を用いて表示するには、
x→y の角度をθ
z軸からの角度をφとすれば

z = rcosφ
x+iy = rsinφexp(iθ)

と表せますが、これではとても不便なように感じます。

そこで、二次元極座標系が1つの虚数単位 i を用いて

ベクトルr = r exp(iθ)

と表わせるように

三次元球座標系が2つの虚数単位 i, j を用いて

ベクトルr = r f(θ,φ)

のような形で表わせると思うのですが、
どなたか表し方をご存知の方はいらっしゃいますでしょうか。

回答No.1

KI401

興味深い質問ですね。その発想はありませんでした。

少し考えてみましたが、そもそも虚数単位が２つあるような「世界」を構築するのが難しいですね。
何かウマいやり方があるかもしれませんが・・・。

で、まぁ良い答えが思い浮かばなかったので、代わりに四元数というものを紹介します。
四元数は1とiだけでなく、jとkまで持ち出して「単位」とします。
虚数単位iはi^2=-1という数でしたが、j,kも同様に平方が-1で、さらにijk=-1が成り立ちます。
で面白いのは、複素数をかけることが２次元の回転に対応したように、
四元数をかけることが３次元の回転に対応することです。
wikipediaを参考URLに挙げておきました。興味があれば読んでみてください。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0