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1+1=2の証明って?
stomachmanの回答
- stomachman
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きちんとやるとなるとNo.4のaminouchiさんのおっしゃる通りですが、ま、感じだけ掴んでいただくのなら。 空集合をφと書くことにします。 まず小さい自然数の定義です。 ●φを0と書くことにします。 そして、演算s(n)を ●s(n) = {n}∪n と定義します。実はs(n)は「nの次の数」を表すんです。 ●s(0)={0}を1と書くことにし、 ●s(1)={0,1}を2と書くことにします。 ●s(2)={0,1,2}を3と書くことにします。 この定義は、集合の要素の個数がその数を表しています。2を定義するのに"+"を使っていないところがミソですね。 さて今度は+の定義です。+は二つの自然数を一つの自然数に対応させる2変数関数ですから、本来 +(n,m) と書くべき所を n+m と書いているに過ぎない、と考えます。で、+(n,m)を定義するために一つ補助的な3変数関数fを考えます。ここに ●f(n,m,m)=n ●m≠kのとき、f(n,m,k) = f(s(n),m,s(k)) そして ●+(n,m)=f(n,m,0) と定義します。 かくて、とりあえず必要な道具は揃いましたよ。 1+1 = +(1,1) = f(1,1,0) = f(s(1),1,s(0)) = f({1}∪1,{0},{0}∪0) = f({1}∪{0},{0},{0}∪φ) = f({0,1},{0},{0}) = {0,1} = 2 そうだ、ご理解を深めるために、ひとつ応用問題を付けましょう。 ●g(n,m) = f(0,n,m) と定義します。 この関数gは何を表しているでしょうか。
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