解き方が分かりません

質問

なんか質問ばかりですいません。
n:自然数、t(0<=t<=Π)を媒介変数とする方程式
x=1-e^(-t) , y=(sint)^(2n)
で表される平面上の曲線とｘ軸で囲まれた部分の面積をＳ_nとするとき
(1) Ｓ_(n-1) とＳ_n の関係式を求めよ　(答：Ｓ_n＝{2n(2n-1)/(4n^2 +1)}Ｓ_(n-1)
(2) Ｓ_nを求めよ　　（答：Ｓ_n＝{1-(1/e^Π)}*【(2n)!/[(4n^2 +1)*{4(n-1)^2 +1}* … *5]】
という問題があるんですが、解き方か解き方の手順を教えていただきたいです。お願いします。
(e=自然対数)

回答No.3

KaitoTVGAMEKOZOU · ベストアンサー

できたよ。予想通り、概念は簡単で計算は難しかった。

グラフの概形はちゃんと調べたよね？
原点から増加してｘ＝１－e^(-π／２)で最大値１をとり、 今度は減少してｘ＝１－e^(-π)で最小値０をとる。書きにくいので詳しくは書かないよ。

　　ｔ　　｜０　｜　π／２　｜　π　｜
ｄｘ／ｄｔ｜　　　　＋　　　　　　　 |
ｄｙ／ｄｔ｜ ＋ ｜　　０　　|　－ 　 |

したがって点（ｘ，ｙ）の速度ベクトルを考えることにより、上記の結論が得られるわけだ。

で、計算が問題になっているわけだ。「じゃあがんばってね」と言いたいところだが積分の計算が出来ない高校生は割りと多い。そこでまた解説しよう。ちなみに私は部分積分法とやらは知らない。だから参考ＵＲＬも参考にしてね。

Ｓｎ＝∫(from 0 to 1－1/e^π) ｙｄｘ
　　＝∫(from 0 to π) ｙ(ｄｘ／ｄｔ)ｄｔ
　　＝∫(from 0 to π) e^(-t)(sint)^2n ｄｔ

ｅがあるのでとりあえずそのまま微分してみよう。
｛e^(-t)(sint)^2n｝’＝－e^(-t)(sint)^2n＋２ｎe^(-t)cosｔ(sint)^2n-1　（１）

まだ２ｎe^(-t)cosｔ(sint)^2n-1が残ってる。これもｅがついているからそのまま微分してみよう。
｛２ｎe^(-t)cosｔ(sint)^2n-1｝’
＝～計算省略～
＝－２ｎe^(-t)cosｔ(sint)^2n-1＋２ｎ(２ｎ－１)(sint)^2n-2－４ｎ^2e^(-t)(sint)^2n （２）

（１）＋（２）より、
｛e^(-t)(sint)^2n＋２ｎe^(-t)cosｔ(sint)^2n-1｝’
＝（－１－４ｎ^2）e^(-t)(sint)^2n ＋２ｎ（２ｎ－１）e^(-t)(sint)^2(n-1)

［e^(-t)(sint)^2n＋２ｎe^(-t)cosｔ(sint)^2n-1］(from 0 to π)＝０なので、
０＝ （－１－４ｎ^2）Ｓｎ＋２ｎ（２ｎ－１）Ｓｎ－１
⇔Ｓｎ＝{2n(2n-1)/(4n^2 +1)}Ｓｎ－１

以上！漸化式はご自分で解いてお礼に「答案」を書いてください。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=200972

お礼

なるほど、こういうやり方があったんですね。ありがとうございます。

しかし、省略されている所が分かりません。
{f(x)g(x)h(x)}'
={f(x)g(x)}'*h(x)＋{f(x)g(x)}h'(x)
={f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)｝h(x)＋｛f(x)g(x)｝h'(x)
=f'(x)g(x)h(x)＋f(x)g'(x)h(x)＋f(x)g(x)h'(x)　として計算してみると、
2n{e^(-t) cost (sint)^(2n-1)}'
=2n{-e^(-t)cost(sint)^(2n-1) -e^(-t) sint (sint)^(2n-1) +e^(-t) cost cost (2n-1) (sint)^(2n-2)}
となり、書いていただいたのと同じになりません。{f(x)g(x)h(x)}'=f'(x)g(x)h(x)＋f(x)g'(x)h(x)＋f(x)g(x)h'(x)が違うのでしょうか？すみませんが教えていただけますか？おねがいします。

Ｓnの方は、
Ｓn＝{2n(2n-1)/(4n^2 +1)}Ｓn－1
={2n(2n-1)/(4n^2 +1)}*[2(n-1)(2n-3)/{4(n-1)^2+1}]*Ｓn-2
=…
とn-1を下げていく。これが１になったとき、(←この様な表現でいいでしょうか？)
Ｓ_1＝{2(2-1)/(4-1)}Ｓ_0
=(2*1/5)Ｓ_0
またＳ_0=∫(0～1-e^-Π) (sint)^0 dx
=∫(0～Π) e^-t dt
=[-e^-t](0～Π)
=(1-1/e^Π)となるので
Ｓn=【{2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)* … * 2*1}/[(4n^2+1){4(n-1)^2+1}* … *5]】*Ｓ_0
＝【{(2n)!}／[(4n^2+1){4(n-1)^2+1}* … *5]】*(1-1/e^Π)
となって答えと合ってるんですが、問題にnは自然数と書いてあるのにＳ_0を求めてもいいのですか？

回答No.4

KaitoTVGAMEKOZOU

＞2n{-e^(-t)cost(sint)^(2n-1) -e^(-t) sint (sint)^(2n-1) +e^(-t) cost cost (2n-1) (sint)^(2n-2)} となり、書いていただいたのと同じになりません。

おいおい。合っているぞ。
(cosｔ)^2＝１－(sint)^2 ｏｋ？
sint (sint)^(2n-1) ＝？
(sint)^(2n-2) ＝(sint)^2(n-ａ) ａ＝？

＞ 問題にnは自然数と書いてあるのにＳ_0を求めてもいいのですか？
２で止めて計算してみたら？つまり、Ｓ２＝１２／１７・Ｓ１ としてＳ１を求める。何の矛盾もない。

お礼

なぜ同じにならなかったのか分かりました。（２)の式の二項目、e^-tが抜けてますね。それにしようとしてましたがなるわけありませんよねぇ。
ありがとうございました。

回答No.2

KaitoTVGAMEKOZOU

種類：アドバイス
どんな人：専門家
自信： あり

ええと。ちなみに上記ですが、面積体積を求める問題は計算は難しいが、一番頭を使わない問題なので「どんな人：専門家」としてあるのデス。今回は数(3)と数Ａの融合問題です。「数(3)と数Ａ」の組み合わせは最近の主流なので注意しましょう。
個人的には数(3)と数Ｃの融合問題が難しかった。
まあ、間違ってもいいから「自信を持って」お礼に解答を書いてください。

お礼

すみません、
∫(0～1－1/e^Π) (sint)^2n dx
=∫(0～Π) e^(-t) (sint)^2n dt
で、f(t)=(sint)^2nと置いて部分積分してみましたが、
[-e^(-t)(sint)^2n](0～Π) +2n∫(0～Π) (sint)^(2n-1) cost e^(-t) dt
=2n∫(0～Π) (sint)^(2n-1) cost e^(-t) dt
となり、これ以降どうすればいいか分かりません…。
それから、数Aとの融合問題とは？数列ですか？

回答No.1

KaitoTVGAMEKOZOU

まず、面積を数式で表す努力をしよう。これは私の直感だが、面積を求める過程でＳ_(n-1) とＳ_n の関係式は必ず出てくる（と思う）。

ところで面積は求められるよね。Ｓn＝∫ｙｄｘ　から地道に解いていくんだよ。