減衰曲線

質問

持っている方ならすぐにわかると思いますが「大学への数学　１対１対応の演習　数学III　ｐ１０２　例題９」の問題です。

y=e^xsinx で表される曲線Ｃがある。
（１）区間[０，３π]における曲線Ｃの概形をかけ．
（２）nを自然数とする．区間[（ｎ-1）π，ｎπ]において曲線Ｃとｘ軸とで囲まれた図形の面積をＳ_nとする. 　(S_2)^2-S_1＊S_3を求めよ。

の問題で（２）についてなのですが
　解答の途中で

　S_n=∫[（ｎ-1）π to ｎπ] e^x |sinx| dx　であるので
　S_（n＋1）=∫[ｎπ　 to（ｎ＋1）π]　e^x |sinx| dx
　　[ｔ=x-πとおいて]
　　　　　　=∫[（ｎ-1）π to ｎπ] e^(t+π) |sin(t+π)| dt　
　　　　　　=e^π∫[（ｎ-1）π to ｎπ] e^t |-sint| dt　　　
　　　　　　=e^π∫[（ｎ-1）π to ｎπ] e^t |sint| dt
　　　　　　=e^πS_n

となっています。
　ここの[ｔ=x-πとおいて]の前後の式変形が分かりません。

　(ア)なぜx=t+πではなくｔ=x-πとおくのか？（同じだが…）

　(イ)∫[（ｎ-1）π to ｎπ] e^(t+π) |sin(t+π)| dt　は　∫[（ｎ-1）π to ｎπ] e^(x+π) |sin(x+π)| dx ではいけないのか？（変数を変える必要はあるのか？)

　(ウ)（１）のグラフをかいてみると分かると思いますが、この式変形の図形的意味は積分区間の幅の長さが変わらないから１周期分ｘ軸負の方向にずらしても同じ
　　　　　　（その位置における高さは決まっているから横幅が変わらないことを利用して同じ高さの部分を持ってきている）ということなのか？

　　分かる方できる限り分かりやすくかつ詳しく教えてください。

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。
減衰曲線というよりも、増幅曲線ですね。

(ア) 要は、S_nと S_(n+1)の漸化式を導くことを考えています。
S_nの積分区間は (n-1)π≦ x≦ nπ、S_(n+1)の積分区間は nπ≦ x≦ (n+1)πとなります。
「この積分区間が一致していれば、比較しやすいだろう」という意図で変形がされています。
グラフ的に考えれば「平行移動」と同じようなイメージですね。

(ウ) こういうことでしょうか？
「(ア)のように漸化式を導けるのは、積分区間が同じ幅をもっていることを利用している。
そして、図形的な意味としてはグラフが拡大されている（x軸から見て引き延ばされている）だけである。」

最後の文章のところは、式で追えばわかります。というか、すでにやってますね。
f(x)＝ e^x* |sin(x)|に対して、f(x+π)を計算すると
f(x+π)＝ e^π* f(x)

つまり、x軸からの距離（高さ）をみると、次の区間に移る（πだけ進む）たびに e^π倍されているということになります。
ですので、それらを寄せ集めた（積分した）面積も e^π倍になっているということになります。

こんな感じでいかがでしょうか？

回答No.1

Tacosan

(ア) t=x-π と x=t+π とでは (数式としては同値だけど) 意味が違います. 前者は「x に対して (値が x-π であるような) t を対応させる」, 後者は「t に対して (値が t+π であるような) x を対応させる」ということになります. 今は 変数 x が既に存在するところに (x に依存する) 変数 t を導入するので, 意味としては前者の方がすっきりします.
(イ) 今の場合は, 特に x に変数を変える必要はないと思います. 変えるにしても
e^π∫[（ｎ-1）π to ｎπ] e^t |sin t| dt
= e^π∫[（ｎ-1）π to ｎπ] e^x |sin x| dx
のように変えれば十分でしょう.
(ウ) 文章の意味が分かりません. 「その位置における高さ」とか「同じ高さの部分」は何を意味しているのでしょうか?

お礼

回答ありがとうございます。
まず(ア)について確かに意味的にはt=x-πのほうがすっきりしますね。
ですが自然な流れでt=x-πとおく発想が出るのでしょうか？
x=t+πとおくほうが思いつきやすい気もしますが・・・
(イ) については分かりました。
(ウ)については「その位置とは具体的にグラフ１周期の極大のところのxの値を想像していただけたら分かると思いますがどうでしょう？