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教えて下さい。
x=t+sint、y=1-costで、原点から曲線上の点P(tが0≦t≦πである曲線上の点)までの弧の長さをs、Pにおける接線がｘ軸となす角をθとすれば、s=4sinθとなることを示したいです。どうやればいいですか？
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まず、sを求めます。 dx/dt=1+cost, dy/dt=sintなので、 s=∫(0→t)√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2)dt =∫(0→t)√(1+cost)dt =2∫(0→t)cos(t/2)dt (公式：cost=2cos^2(t/2)-1を使用） =4sin(t/2)・・・※１ 次に、Pにおける接線の傾きは、 dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) =sint/(1+cost) であり、これはtanθに等しい。 よって、sinθ/cosθ=sint/(1+cost)なので、sin^2θ+cos^2θ=1と連立させれば、 sinθ=sin(t/2)となる。・・・※２ （注：0≦θ≦πなのでsinθ≧0） （このときも、cost=2cos^2(t/2)-1を使用） ※１、※２より、s=4sinθ
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