体積の積分法について

質問

体積の積分法についての公式が理解できません。二重積分を使うのか三重積分を使うのかはどこで判断するのですか？？

回答No.2

torahuzuku

今晩は。
三次元の閉領域Vで定まった値を持つ関数f(x,y,z)の領域Vでの三重積分は、直交座標で、
　∫∫∫_vf(x,y,z)dxdydz=∫∫∫_vf(x,y,z)dV　で、
極座標で、
　∫∫∫_vf(r,θ,φ)drdθdφ=∫∫∫_vf(r,θ,φ)dV　で表わされ一般的にはf(x,y,z)、f(r,θ,φ)で与えられる立体の質量を表わしているかと思います。この公式で
f(x,y,z)=1、f(r,θ,φ)=1　のとき、体積を求める公式になるのではないかと思います。ですので、
3変数関数でも、楕円面　x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1 で囲まれた立体の体積を求めるようなときは利用できますが、普通は二重積分の公式を使うのが良いかと思います。

回答No.1

sanori

私は理系の人間にしては数学が不得意な方の部類に入ると思います。
そんな私の主観で回答しますが、ご了承くださいませ。

まず、そもそも重積分という手法を知らなくても、体積を求めることができる場合があります。

例えば、半径ｒの球の体積を求めるとき、
すでに、半径ｄの球の表面積が４πｄ＾２であることが既知であれば、
ｆ（ｄ）＝４πｄ＾２
という関数を、半径（直線）に沿ってｄ＝０からｄ＝ｒまで積分しますと、球の体積になります。
なぜならば、球の表面とｒの軸方向とは、常に垂直（三角形の高さに相当）であり、半径０からｒまでの無限に薄い球の表面を全部重ねていけば、球（の体積）になるからです。
∫［ｄ＝０→ｒ］４πｄ＾２　ｄｘ　＝　３／４・πｒ＾３

重積分を使わずに球の体積を求めるもう一つのやり方は、輪切りのように、球を薄くスライスして、その断面積を北極から南極までの長さ２ｒの直線経路で積分する方法です。（計算過程の説明は省略します。）

上記２つは、たしか高校時代ぐらいに試しまして、うまく計算できた記憶があります。

ところが、３重積分の概念を学んだとき、ｒ（半径方向）、θ（緯度）、φ（経度）の三次元の極座標で球を表現すれば、３重積分によって、いとも簡単に体積を求めることを知って感動した記憶があります。

ｎ角錐や円錐の体積は、横方向スライスしまして、
断面は、頂点から下に向かうごとに２乗則で大きくなっていきますから、頂点（高さｘ＝０）から底面（高さｘ＝錐の高さ）まで断面積を積分すれば、
∫底面積ｄｘ　＝　∫定数・ｘ＾２　ｄｘ
　　　＝定数×１／３×高さ＾３
となり、昔覚えた体積の公式と一致します。

以上の私の例は全て、変数が１個に絞られたところで、そこから積分をしているわけです。

ご質問の「二重積分を使うのか三重積分を使うのか」についてですが、

体積を求めるときは、３重積分が可能であれば、なるべく使うべきであるような気がします。
なんせ、球の体積を求めるのも簡単ですから。

２重積分を体積の計算に用いるケースとしては、上述した私の例みたいな感じで、３つの軸の３変数のうちの１変数を消去（というか、定数にする）できて、変数を２個に絞れた場合に適用されるかと思います。

・・・・・以上、素人考えで書きましたが、ご参考になりましたら。