積分の体積の問題

質問

積分の体積の問題

y=cos x/2 (0≦x≦π)　とy=cos x (0≦x≦π)　と　x=πで囲まれる領域をx軸周りに1回転体の体積を求めよ。

上記の問題がわかりません。教えてください((+_+))

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

回転体の体積を求めるときは、先ず外周と内周の半径をそれぞれ求めます。
　その後、回転体の体積を　π∫{(外周の半径)^2-(内周の半径)^2}dx で求めます。

　この回転体の外周と内周の半径は x=π/2と2π/3 で次のように変化します。

(1) 0≦x≦π/2のとき　　　回転体の外周の半径：cos(x/2)　　内周の半径：cos(x)
(2) π/2≦x≦2π/3のとき　回転体の外周の半径：cos(x/2)　　内周の半径：0
(3) 2π/3≦x≦πのとき　　回転体の外周の半径：cos(x)　　　内周の半径：0

　従って、求める体積をVとしますと、次のように求められます。
　（計算違いがあるかもしれませんのでご注意を！）

　V/π
=∫[0→π/2] [{cos(x)}^2 -{cos(x/2)}^2]dx +∫[π/2→2π/3] {cos(x/2)}^2 dx +∫[2π/3→π] {cos(x)}^2 dx
=π/4+3√3/8

∴V=π/8 (2π+3√3)

お礼

お礼が遅くなってしまい、申し訳ございません(＠_＠;)

分かりやすい解説で大変役立ちました！
ありがとうございました！