三重積分の積分領域の意味について

質問

二重積分の積分領域は求める体積の底面の領域だとういう事は分かるのですが、三重積分の積分領域の場合はどうなるのでしょうか？積分領域自体が体積になっているのでどうなの？って感じです。
　また二重積分の場合被積分関数をz=f(x,y)とおけるのですが三重積分は被積分関数にzを含んでいるので被積分関数の指す意味も良く分かりません。
分かりにくい質問かもしれませんが、回答よろしくお願いします！

回答No.2

proto · ベストアンサー

まず積分によって求められるものは
必ずしも面積・体積とは限りません
物理の分野でいえば、力を距離で積分して
　　-∫f(r)dr
は位置エネルギーになります。
この場合線積分ですが
体積分の場合でも物理では体積以外のものを扱うのに使います

たとえば重さの密度を空間の領域で積分すると、その領域全体の重量になります。
電荷密度を体積で積分すれば、体積内の電荷の総量になります。

では体積の密度を積分すればその領域の体積になるはずですね？
密度は簡単にはある量を考える体積で割って単位体積あたりの量を考えればいいです。
体積Vの領域内にある体積はもちろんVなので、体積の密度はいつでもV/V=1になります。
体積(空間)は一様で偏りがないってことです。
つまり1をある領域で積分したものがその領域の体積です。
これを式で書くと
　　∫1dxdydz = ∫dV
です。
もし、考える領域がグラフf(x,y)よりも下の体積だったら
　　∬{∫[0→f(x,y)]1dz}dxdy=∬f(x,y)dxdy
となります。

つまり、体積分で体積を求めるのはある特別な場合であり。
(1を積分する場合)
2重積分で体積が求まるのもある特別な場合のみなんです。

お礼

納得です。とても分かりやすい説明で、本当感謝しております。ありがとうございました！

回答No.1

sanori

なるほど。

単純な例ですけど、こういうのはどうでしょうか？

Ｘメートル×Ｙメートル×Ｚメートルの直方体があります。
直方体内部の密度（比重）は一様でなく、密度が大きいところもあれば小さいところもあります。

密度ρ［ｋｇ／ｍ^3］は
ρ＝ｆ（ｘ、ｙ、ｚ）＝なんちゃら
という関数で与えられます。

頂点の１つを原点とし、
ｘは辺Ｘ方向の座標、ｙは辺Ｙ方向の座標、ｚは辺Ｚ方向の座標です。

この直方体の質量を求めなさい。

お礼

密度の場合座標によって、値が変わってくるんですね。良く分かりました！ありがとうございました！