積分の中での変数変換

質問

はじめまして。
積分計算の途中の変数変換について質問させてください。

g(x,t)=∫[０，ｔ]　f(x+s-t,s)ds・・・（１）

∫[0,t]g(x+t-s,s)ds・・・（２）
を計算しようとしているのですが、なかなかうまくいきません。

回答としましては、
1/2(∫[0,t]｛∫[x-(t-s),x+(t-s)]f(y,s)dy｝ds)
となっているのですが、どうしても、２つ目のインテグラルの範囲を回答のようにできません。

ちなみに、（１）より
g(x+t-s,s)=∫[0,s] f(x+t-s+u-s,u)du
として僕は計算しているのですが、これ自体がそもそもだめなのでしょうか？

どうかよろしくお願いします。

回答No.2

eatern27

すいません。補足を頂いていた事に気付いてませんでした。
いつ補足を頂いたのか分からないので、もう解決されたのかもしれませんが、一応。。。

まず、
＞＝1/2(∫[0,t]｛∫[x-(t-s),x+(t-s)]f(y,z)dy｝dz)
についてですが、すいません。
＝1/2(∫[z:0,t]｛∫[y:x-(t-z),x+(t-z)]f(y,z)dy｝dz)
の間違いです。(yの積分範囲にあるsをzとしました)失礼しました。

＞D'の具体的な計算というのはどう行うのでしょうか？
細かいことは抜きにしますが、

Ｄというのは、us-平面上で、点(0,0),点(0,t),点(t,t)を頂点とする三角形です。
y=x+t+u-2s,z=uの変数変換によってこれらの点がyz平面上のどこに移るかと言うと、
点(0,0)→点(x+t,0)
点(0,t)→点(x-t,0)
点(t,t)→点(x,t)
に移ります。この変数変換は線型変換なので、三角形Ｄは、これら３つの点を頂点とする三角形に移ります。
これがＤ'です。重積分を累次積分(?)の形に直せば、先に書いたような積分になります。

回答No.1

eatern27

＞g(x+t-s,s)=∫[0,s] f(x+t-s+u-s,u)du
はあってると思いますよ。
これを∫[0,t]g(x+t-s,s)dsに代入すると、

積分範囲は、(u-s平面上で)点(0,0),点(0,t),点(t,t)を頂点とする三角形の内部である事が分かります。この三角形をＤと書くことにすれば、

∫[0,t]g(x+t-s,s)ds
＝∬_D (x+t+u-2s,u)duds

となります。y=x+t+u-2s,z=uで変数変換すると、ヤコビアンは1/2なので、積分範囲をＤ'とすれば、

∬_D (x+t+u-2s,u)duds
＝(1/2)∬_D' (y,z)dydz

である事が分かります。D'を具体的に計算すると、

(1/2)∬_D' (y,z)dydz
＝1/2(∫[0,t]｛∫[x-(t-s),x+(t-s)]f(y,z)dy｝dz)
となります。

お礼

ありがとうございます。

D'の具体的な計算というのはどう行うのでしょうか？

u:0→sなので、y:x+t-2s　→　x+t-s

となって、どうしても、ｙの範囲が答えのようにはならないと思うのですが。。。