入試数学で伝説の良問

質問

大学入試などで、これはいい、なるほど、という良問を持っていれば教えて下さいませんでしょうか。ここ（教えて！GOO）に出たものでもかまいません。
ついでに考え方を書いていただけるとありがたいです。
少し離して頂けるとよりありがたいです。（少し考えることができます。）
ちなみに僕は、1977　京大　のサイコロを三回まで投げられ、出た目を得点とするとき、二回目と三回目の振り方（この目が出たら投げるか投げないか）。が面白かったです。
あと、最近では２０００東大のπを求めるものが有名でしょうか。

回答No.12

noname#20999 · ベストアンサー

ではNo.10の上の問題のヒント(別解もあります)

N'=a^2+b^2が成り立つとき、
25N'=(5a)^2+(5b)^2
=(3a)^2+(4a)^2+(5b)^2
=(3a)^2+(4a)^2+(3b)^2+(4b)^2

従って25N'は2,3,4個の平方数和として表せます。
同様に考えると…(以下略)

かなり大きな数になりますが答えが出ると思います。
条件を満たすNの最小値も求めてみたいですね。

序でに下の問題の問１の回答も。
n=1のとき、幾つか具体的な数字で考えてみれば、
1÷p，4÷p，…((p-1)/2)^2÷pの余りについて考えれば十分だと分かると思います(証明略)。
1≦i＜j≦(p-1)/2を満たすi,jについて、
i^2÷pとj^2÷pの余りが等しいならば
i^2≡j^2 (mod p)
⇔(j-i)(j+i)≡0 (mod p)
1≦i＜j≦(p-1)/2，pは素数より上式をみたすi,jは存在しない。ゆえにこの範囲で余りが重複することは無いからf(p)=(p-1)/2。

n=2のときは1≦i＜j≦(p^2-1)/2について考えれば十分。
1≦i＜j≦(p^2-1)/2を満たすi,jについて、
i^2≡j^2 (mod p^2)
⇔(j-i)(j+i)≡0 (mod p^2)
⇔j-i≡j+i≡0 (mod p) (1≦i＜j≦(p^2-1)/2より)
従ってi,jがpで割り切れるとき余りは等しくなる。
つまりi^2はp^2で割り切れるので、余りの種類には含めない。
従って求める余りの種類は1から(p^2-1)/2までの自然数のうちpの倍数((p-1)/2個)を除いたものの個数。
すなわちf(p^2)=p(p-1)/2。

n≧3については漸化式を作るのですが自分でも上手く説明できないので省略。
f(p,n)=f(p,n-2)+p^(n-1)*(p-1)/2となります。

問２はp≧5という条件を忘れていました。
n=1,2のときは問１を利用して余りの和をΣで表すのですが…
n≧3については帰納法を用います。

お礼

ありがとうございました

回答No.11

dollar

Ｋ君の帽子の問題の答えは9/19で正解です。
解説まで書くのは面倒なので省略します。

回答No.10

noname#20999

＞「2以上2006以下の任意の個数の平方数の和として表すことの出来る自然数を一つ考えよ」は、問題のが少し掴めません。

説明がいいかげんで申し訳無いです。
「2以上2006以下」は「個数」にかかります。つまり、
N=a^2+b^2
=c^2+d^2+e^2
=f^2+h^2+i^2+j^2
=…
=(2006個の平方数和)
と表せるようなNを見つけるという事です。

ではもう一問。これも説明が難しいです。

平方数を３で割った余りが２になることは無い。割り切れる場合を「余り０」でなく「余らない」と考えるならば平方数を３で割った余りは１のみである。また、５で割った余りは１か４の二種類である。
ここで、平方数を自然数xで割ったときに余りとなり得る数がf(x)種類あるとする。このとき上記の例はf(3)=1,f(5)=2と表すことが出来る。
pを3以上の素数、nを自然数とするとき、
問１.f(p^n)をpとnを用いて表せ。
問２.平方数をp^nで割ったときに余りとなり得るf(p^n)個の数の総和がp^nで割り切れることを示せ。

最早入試問題ではなく「入試に出してみたい問題」ですが。
一般化は面白いですが面倒臭いのでn=1,2の場合だけで十分だと思います。

補足

これでも数学を専門にやっているのですが、考えても全く答えが出ません。降参ですね。
考え方だけでも教えていただけますか。

回答No.9

noname#20999

度々すみません。No.8の「y軸」は「x軸」の誤りです。

回答No.8

noname#20999

No.1,5の者です。
No.1の問題は高校生に出すなら
「e=1/0!+1/1!+1/2!+…を利用して・・・」或いは
「y=1/x,x=1,x=3,y軸で囲まれる図形の面積(log3)が１より大きいことを示し・・・」
のような誘導を加えるべきですね。
序でに二問追加します。
「ピタゴラス数の三つの積が60の倍数であることを示せ」
「2以上2006以下の任意の個数の平方数の和として表すことの出来る自然数を一つ考えよ」
上はかなり有名ですね。下のは前に友人が出した問題です。中学生でも出来るかも？
「伝説の良問」から遠ざかっている気もしますが、なるほど、と思ったので。

補足

＞＞「y=1/x,x=1,x=3,y軸で囲まれる図形の面積(log3)が１より大きいことを示し・・・」
なるほど！
「ピタゴラス数の三つの積が60の倍数であることを示せ」は、全くわからず、ネットで検索してやっとわかりました。美しいですね。良い問題を教えていただきました。
「2以上2006以下の任意の個数の平方数の和として表すことの出来る自然数を一つ考えよ」は、問題のが少し掴めません。Σｋ＾２≦2006と言う意味ですか？また、’2以上2006以下’は任意の個数の平方数と自然数のどちらにかかっているのでしょうか。

回答No.7

mercuri

ANo.4です。

質問者様のような解法でもよろしいかと思います。
ちなみに、回答に書いてあったのは、
組み合わせ（nPr/r!=nCr）を使って解くやり方です。

回答No.6

dollar

確か慶応だったかな？
条件付き確率の殿堂入りの問題。
「Ｋ君はどこかの家に入ると３分の１の確率で帽子を忘れてくる。ある日彼はＡ君宅、Ｂ君宅、Ｃ君宅をこの順番に訪ね、帰宅したところ帽子がないことに気づいた。Ａ君宅に忘れてきた確率を求めよ」
これぞ条件付き確率、といった感じで妙に感心した覚えがあります。

お礼

回答ありがとうございます。

補足

9/19でしょうか。
こういった質問の場合、解法がないと人が見たとき私以外で分からなかった人が見たらもやもやするので、書いくべきだとも思うのですが、かといってお礼などに書くと出しゃばるようにも思えますが、どうでしょう（もう書いてしまったものもありますが）。

回答No.5

noname#20999

1990京大の問２の問題。「三角形ABCにおいて∠B＝60°,aとcが素数,bが整数な
らばABCが正三角形であることを示せ」
凄く基本的な問題なのですが初めてこの問題を見たときは全く解けませんでした。
あとは2003?阪大後期のπが無理数であることを示す問題は面白いと思いました。

補足

この質問は、興味というよりも、塾の講師などしておりまして、ありそうでなかったので出したのですが、教育的に良い問題はないかという意図もありましたので、少し残念に思います。
”1990京大の問２の問題”は新課程から複素平面がなくなって悲しいですね。
2003?阪大後期は、中学生でも分かるような証明はないものでしょうか。

回答No.4

mercuri

良問とはいえないかも知れませんが、
僕はこの問題の回答を見て感心しました。

「連続する自然数r個の積を1からrまでの積で割ると
　その答えが自然数となることを証明せよ」

答えはひらめきさえあれば、証明は数行で終わります。

お礼

回答ありがとうございます。例えば３だと３回に一度はそれが約数に含まれる数字になるといった感じですかね。こういう問題を試験中にひらめける学生をとるというのが理想になるんでしょうけど、一度出ると記憶されてしまうというのが良問ゆえの運命でしょうか。

回答No.3

orangeapple55

良問かどうかわかりませんが、

「3^πとπ^3ではどちらが大きいか。理由をつけて答えよ」

という問題に感動したことがあります。

確か、何年か前の東京都立大学の問題だったかな…
簡単でしたらゴメンなさい。。

お礼

少し時間がかかってしまいました。
3^π > π^3ですね。
証明は
f(x) = log(x)/x とすると
f'(x) = ( 1 - log(x) )/x^2
増減表より
f(x) は x=e のとき最大値(1/e)をとる
π>3より
log(3)/3 > log(π)/π
といったぐあいですかね。
素晴しい問題です。ありがとうございます。

回答No.2

springside

これは、講談社 ブルーバックスの「入試数学　伝説の良問　100」（安田　亨著）では物足りないという趣旨でしょうか。

やはり、2003年東大・理科の「円周率が3.05より大きいことを証明せよ。」がまず頭に浮かびます。

お礼

回答ありがとうございます。ご指摘いただいた本が、大変面白かったので、他にこのような教育的にも頭の体操にも良いような問題がないかと思ったという趣旨です。当方学習塾の講師もしておりまして。
”円周率が3.05より大きいことを証明”は八角形を利用するのでしたよね。小学校で３.14を習うときに多角形を利用する方法を聞いた気がします。