数学 確率

質問

問）ひとつのサイコロを10回振る時、1の目も6の目も少なくとも1回は出る確率を求めよ。

この問題の式と答えを教えてください。
私は《1ー(4/6)10乗》だと思いました。

回答No.1

noname#223095 · ベストアンサー

以下，一般にaのb乗をa＾bと表記することにします．これは，ある意味正式な表記法なので知っておいて下さい．従って，あなたのおっしゃる1ー(4/6)10乗とは，1‐(4/6)^10と表記されます．

さて，4/6は１回振って1と6以外の目が出る確率，言い換えると2，3，4，5のいずれかが出る確率です．ですから，それの10乗，すなわち(4/6)^10とは，10回振って10回とも1，6以外の目の出る確率です． 従って，

　　　　　1‐(4/6)^10

は，それの余事象，すなわち，少なくとも１回は1または6が出る確率を表します(「１も6も出る」ではありません)．ですから，この余事象の中には，例えば１回目に１の目が出て，2回目以降10回目まではずっと2，3，4，5のいずれかの目が出る場合も入ってきます．つまり，6の目はまったく出ていない場合が含まれてしまいます．しかし，ここの問題文は１の目のみならず，６の目も最低１回は出ないといけません．

ちょっと記号を使わせて頂きます．

今，10回サイコロを振るとき，

　　　　　1の目が少なくとも１回出るという事象をA，
　　　　　6の目が少なくとも１回出るという事象をB

とすると，ここで求められているものは「AかつBが起こる確率」です．これは記号的にはP(A∩B)と表されますが宜しいですか・・・(ホワイトボードが使えなくて辛いですが)．また，一般に事象Xの余事象をここではX’のように表すことにします(通常は，文字Xの上に横線を引いて表すことが多いのですが，ネット上で文字Xの上に横線を置く方法を存じませんので，この表記をとらせて頂きます)．ところで，今の場合A∩Bをまともに相手にするのはちょっと難しいので，これの余事象を考えます．A∩Bの余事象とは(A∩B)’ですが，これはド・モルガンの法則によって，

　　　　　(A∩B)’=A’∪B’

になります．教科書には大抵書かれているはずです．ですから，これの確率は

　　　　　P(A∩B)’=P(A’∪B’) ・・・(1)

ですが，上の右辺は，

　　　　　P(A’∪B’)=P(A’)+P(B’)‐P(A’∩B’)・・・(2)

が成り立ちます．この関係も高校教科書などでは，’ のない形，すなわち，

　　　　　P(A∪B)=P(A)+P(B)‐P(A∩B)

の形で載せていると思います．これは「包除原理」と呼ばれる集合の基本的関係から容易に導かれる基本公式です．

では，(2)の右辺にある各項を計算してみましょう．

A’ とは，Aの余事象ですから，「10回とも1の目が出ない」という事象．従って，

　　　　P(A’)＝(5/6)^10

同様にして，B’ についても，

　　　　P(B’)＝(5/6)^10

最後の項にある，A’∩B’は「10回とも1も6も出ない」という事象だから，

　　　　P(A’∩B’)＝(4/6)^10＝(2/3)^10

以上の結果を(2)の右辺に代入して，

　　　　　P(A’∪B’) = (5/6)^10 + (5/6)^10‐(2/3)^10
　　　　　　　　　 ＝2(5/6)^10‐(2/3)^10

これで，(1)の右辺，従って(1)の左辺の確率が出ました．すなわち，

　　　　　P(A∩B)’＝ 2(5/6)^10‐(2/3)^10・・・(3)

です．これが(A∩B)’の確率です．日本語的に言うなら，

　　　　　「1の目も6の目も最低1回は出るという事象の余事象の確率」

です．ですから，求める確率は，1から(3)の右辺を引いて，

　　　　　1－(2(5/6)^10‐(2/3)^10)
　　　　 = 1－2(5/6)^10 + (2/3)^10

です．

お解り頂けたでしょうか・・・．