確率の考え方がわからない。

質問

問題は、
「n回さいころを投げるときに、少なくとも１回は３だけが出て、残りは３若しくは６が出る確率を求めよ。」

なのですが、

答えを見ると、
（１／３）のn乗ー（１／６）のn乗
となっており、これは余事象を使った解き方で、理解できるのですが、

（３が出る確率<*1>）×（3 or 6が出る確率）×（<*1>が何回目に起こるか）と考えて、

（１／６）×（１／３）のn-1乗×nとしました。

自分の解き方が間違っていることは感じていますが、
具体的にどのへんが間違っているのかがわかりません。

どのへんの理解が間違っているのでしょうか？

少し漠然とした質問ではございますが、
教えていただけませんでしょうか？

回答No.6

R_Earl

間違いの原因は、同じものを2回数えあげたことです。

> （３が出る確率<*1>）×（3 or 6が出る確率）×（<*1>が何回目に起こるか）と考えて、
>
> （１／６）×（１／３）のn-1乗×nとしました。
>
> 自分の解き方が間違っていることは感じていますが、
> 具体的にどのへんが間違っているのかがわかりません。

間違いの原因を探りたいのであれば、
確率で考えるのではなく、場合の数で考える方がいいと思います。
他の回答者の方々が言うように、樹形図やらなんやらで
場合を実際に書き出してみるのが一番です。

(1/6)×(1/3)のn-1乗×n
= (1/6)×(2/6)のn-1乗×n
= (n × 1 × 2のn-1乗) / (6のn乗)

として考えると、質問者さんは
「n回さいころを投げるときに、少なくとも1回は3だけが出て、残りは3若しくは6が出る場合の数」は
全部で(n × 1 × 2のn-1乗)通りあったと考えたということになります。

質問者さんの考えに沿って、この場合を全て書き出します。
とりあえず、n = 3の時を例に挙げます。
n = 3なので、求める場合の数は(3 × 1 × 2の3-1乗)通り = 12通りですね。
この12通りの場合を列挙すると以下のようになります。

[1] 3が先頭から1番目にきて、それ以外は3もしくは6がでる場合
333
336
363
366

[2] 3が先頭から2番目にきて、それ以外は3もしくは6がでる場合
333
336
633
636

[3] 3が先頭から3番目にきて、それ以外は3もしくは6がでる場合
333
363
633
663

よくみると、333や336等を何度かカウントしてますよね。
このように同じものを何度か数え上げてしまっているので駄目です。

回答No.5

fukuda-h

たぶんあなたの考えは
ｎ回中1回は3の目が出てそれ以外は3または6の目は出る。3の目が出るのは１からｎまでのn通りある・・・でしょうね。
n=5として
３６６３６を考えると、あなたは１回目の３を指定して２から５回目は３または６の目が出たと考えたとします。しかし私は４回目に３が出てそれ以外は３または６の目が出たと考える。…これが矛盾している理由です。３の目が何回目に出るかを指定できません。
正しくは全部３または６の目が出た（の中にはすべて６の目がだたが入っている）から（すべて６の目だった）を引いてしまうことです

回答No.4

staratras

この問題文の表現は少し回りくどく、特に「少なくとも１回は３だけが出て」
という部分の意味が分かりにくいと思います。分りやすく言い換えれば
「n回さいころを投げるとき、すべて３または６が出る確率を求めよ。
ただし１回も３が出ない場合（＝全部６だけが出る場合）は除く」ということです。

この言い換えならば「答え」の考え方（まず「すべて３または６が出る確率」を求めて、
これから「全部６だけが出る確率」を引く）となることが分かると思います。

回答No.3

naniwacchi

「余事象」とは？ということをよく考えないといけません。
余事象の問題では、「少なくとも」というフレーズが定番です。

＞（１／６）×（１／３）のn-1乗×nとしました。
これはどういう結果に対する確率でしょうか？
「少なくとも」ということが反映されていますか？
「少なくとも」は「1回だけ」でなく、「2回」でも「3回」でも構わないのです。

#2さんもこのあたりを指摘されています。

回答No.2

Tacosan

(1/6) * (1/3)^(n-1) * n で数えている事象を全て書き上げてみてください.

回答No.1

koko_u_u

>具体的にどのへんが間違っているのかがわかりません。

掛け算をした理由を考えて、補足にどうぞ。