公理と定義はどうちがうのでしょうか？

質問

公理とは「仮定」のことです。
「仮定」とは「仮に定めたもの」です。
「仮に定めたもの」とは「仮に定義したもの」です。
「仮に定義すること」（公理）と「定義すること」（定義）は同じなのではないのでしょうか？

定義と公理のちがいは何でしょうか？
例えば行列のかけ算は縦と横を掛けて足しますけど、
それは定義です。
しかし、それを公理と呼んではいけないのでしょうか？

また、たとえば分配法則は公理ですが、これを定義と呼んではいけないのでしょうか？

回答No.18

graphaffine · ベストアンサー

たびたび、失礼します。#15の補足拝見しました。
＞その式の左辺が「未知」のものならその式は定義であり、

定義は式だけではなく、用語や概念、方法等に対してなされる決め事（名前付け）です。逆に新しい概念に名前をつける（定義する）ことによって、数学は発展、拡張しますから、その意味で引用部分は数学の本質をついていると言えます。
ただ、率直に言えば定義の場合は定める、決めるというようなキーワードが出てきますので、未知かどうかは判断しません（というか、できない。判断しようとすると、数学のあらゆる知識が必要になりますし、そういう知識を持った人はどこにもいないでしょう）

＞「既知」のものならその式は公理である
公理ではなくて命題です。公理は命題の一種であり、
議論をする上での前提です。

お礼

やっと理解できました。
僕が理解できなかったすべての原因は、
「イコールには２個の意味がある」
ということを考えずにいたことです。
イコールには命題を表すイコールと、定義を表すイコールの二個があるのです。ここを区別しなかったので、公理と定義が同じに見えてしまっていたのです。
レスをくださったみなさん、僕の疑問におつきあいいただき感謝しております。
ありがとうございました。

回答No.19

nejiyama

No.17です。
僕の言ったことは絶対間違ってません。
なぜなら今習っているところなのですから。

お礼

f ’(x)＝lim(h→0)f(x+h)-f(x)/h

に訂正します。

補足

＞計算方法が定義なはずがありません。

nejiyamaさんは「「定義」の「定義」」を間違って理解しているのです。

導関数
f'(x)＝lim(h→0)f(x+h)-f(x)/h
これも定義です。

内積
a・b＝|a||b|cosθ
これも定義です。
(a、bはベクトルなので上に矢印があると思ってください）

マイナス×マイナス＝プラス
これも定義です。
（これは僕は定理だと思っていたのですが、何かの本に定義だと書いてありました。）

回答No.17

nejiyama

No.11です。
＞ではいったい何なのでしょうか？
何でもありません。言ってみれば、計算方法とでもしましょうか。
つまり、"行列の掛け算の定義"という名前の計算方法ですよ。
もし行列の掛け算に定義という名前をつけるとすると、すっかり定義という言葉の意味が変わります。
何度も言いますが、定義というのは用語の説明のことですよ。

お礼

nejiyamaさんは「定義の定義」を間違っているのです。

補足

＞何度も言いますが、定義というのは用語の説明のことですよ。

「行列の積」というものは「横と縦を掛けて足したもの」のことですよ、という用語の説明になってると思いますが。

行列の積の定義
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E7%A9%8D%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%BE%A9&lr=

行列の積を定義
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E7%A9%8D%E3%82%92%E5%AE%9A%E7%BE%A9&lr=

はご覧になられなかったのでしょうか？
行列の積の「計算方法」を定義していますよ？
行列の積が定義でないとするなら何故こんなにもたくさんのホームページが検索されるのでしょうか？

その計算方法は定理でないことはnejiyamaさんも認めてますよね？
「定理でない」と言うことは言い換えれば「導かれたものではない」ということです。
「導かれたものではない」のなら、じゃあどこからその計算方法が出てきたんですか？
自然にわいて出てきたんですか？
違います。「誰かが決めた」んです。

nejiyamaさんの言い分だと、「導かれたものではない」かつ「決めたものでもない」ということですが、
じゃあその計算方法はどこから出て来たんですか？
自然にわいて出てきたんですか？

回答No.16

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

No.13 です。
> 数の分配法則の式の左辺から右辺へ導く「やり方」を公理と呼び
> 行列の積の式の左辺から右辺を導く「やり方」を定義と呼ぶ。

この時点で既に勘違いがあったようですね。
公理は、（たとえば線形空間では）「分配法則が成立する」という表現です。
分配法則の計算方法は、もちろん、（分配法則の）定義です。

たとえば、No.13 で書いた「ペアノの公理を満たすもの」というのが、「自然数の定義」でもあります。

回答No.15

graphaffine

２×３＝６は「２と３をかけたものは６である」と言う
命題です。これは、すぐわかります。

次に、A×B＝Cを考えます。

これは、「AとBをかけたものはCである」と言う命題と解釈できますし、「AとBをかけたものをCと定める」と言う
定義とも解釈できます。（定義の場合は、C=A×Bと書く場合が多いですが）

要するに、A×B＝Cと言う形からだけでは、どちらとも判断できない、従って、形式だけで判断しないで、文脈に則り、きちんと解釈（内容を理解）する事が重要です。

補足

なるほど。
確かに＝（イコール）には２個の意味がありますね。
やっと理解できたかもしれません。
ちょっと説明してみます。

＜ケース１＞
行列の足し算引き算しか習ってない高校生が、教科書の次のページをめくると行列の積ＡＢというのを目にした。この時点で、この高校生は、行列の積「ＡＢ」というのを「初めて目にした」ことになる。

＜ケース２＞
数のかけ算をマスターした小学２年生が３×（４＋５）というのを目にした。この小学生は分配法則など知らない。しかし、この小学生にとって「３×（４＋５）」というのは「初めて見るものではない」。この小学生は４＋５をまず計算し、次に３をかけ算して答えをだすであろう。分配法則など使わずに。

つまり、ある式があって、それが公理か定義かわからない場合、
その式の左辺が「未知」のものならその式は定義であり、
その式の左辺が「既知」のものならその式は公理である

こういう理解であってますでしょうか？

回答No.14

dragonwing

「２×３＝６は定義である」ということに対して、少し書かせていただきます。

まず、この式が定義だとすると、無限にある掛け算の式を一つ一つ定義していかなければなりません。
それゆえに「２×３＝６は定義でない」と考えます。

ここで定義されているものは、“×”と“＝”の記号と自然数で、
“×”は「“×”の左にある数を“×”の右の個数だけ足しなさい」という約束、
“＝”は「“＝”の左右にある数が同じものである」という約束であると思います。

すなわち、“２＋２＋２＝６”のことを“２×３＝６”と書き直しただけです。

この式では“２”を“３回”だけ足せばいいのでそれほど苦労はありませんが、
足す数が大きくなれば、書く方も読む方（見る方）も苦労します。
それゆえに、“×”の記号を使って、何回足してあるのかがわかるようにしてあるのだと思います。

もちろんこの定義は自然数全体の集合でしか成り立ちませんので、
実数や虚数を含む複素数全体の集合では、
別の定義（定義の拡張）が必要になってきます。

このように考えると、一般の横と縦を掛けて足す行列の掛け算は定義だと思います。
このように定義することで、一次変換や連立方程式などにも応用することができます。

また、計算しやすいように各成分同士の積を行列の積として定義することもできますが、
この定義では実用性が無い（一次変換や連立方程式などには使えない）ので、
使用する必要がない（意味の無いものとして処理する）のだと思います。

分配法則については、左辺から右辺を導いているわけではなく、
前述の“＝”の定義を使っているのだと思います。

まず、縦ａ，横ｂ＋ｃの長方形の面積を考えます。
この長方形の面積は、実際に図を書いてみると
２つの小さな長方形（縦ａ，横ｂと縦ａ，横ｃ）の面積の和に
なっていることがわかります。

それゆえに「ａ（ｂ＋ｃ）＝ａｂ＋ａｃ」となるのだと思います。

回答No.13

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

No.10 です。
２×３＝６については、これ自体は定義ではありません。「具体例」ですから。

いくつかの流儀がありますが、まず、「自然数」を公理を用いて生成します。自然数の公理は「ペアノの公理」として有名ですが（※この場合、分け合って、０も自然数に含めます）
・０という数が存在する
・ある、数が自然数であれば、その数の「次の数」が存在する
・０は、どの数の「次の数」でもない。
・二つの数が異なれば、それぞれの「次の数」も互いに異なる
・０がある性質を満たすとする。また、ある数がこの性質を満たすならば、「次の数」もその性質を満たすとき、すべての自然数がこの性質を満たす。
※最後の公理は、「数学的帰納法」として知られるものです。つまり、自然数で数学的帰納法が使えることは、公理から来ています。
ここまでが、自然数を生成する公理です。

これから、足し算を定義します。
「なんとか＋１」は、「何とかの次の数」と定義します。
「あれ＋これ」は、「あれ＋（これの前の数）」の次の数と定義します。
（これで、なんとか＋２が、なんとかの次の次の数と定義できる、以下、すべての自然数＋自然数が定義できます）

さらにかけ算を定義します。
まず、
なんとか×１＝なんとか
と定義します。
このあとは、
（あれ×これ）＝（あれ×（これの前の数））＋あれ
と定義します。（気持ちとしては、あれ　を　これ回足す。それを厳密に表現したものと思えばいいです）
２×３は、２×２＋２です。（３の前の数は２だから）
２×２は、２×１＋２です。（２の前の数は１だから）
最初の定義から、２×１＝２です。
逆にたどって、２×２＝２×１＋２＝４
２×３＝２×２＋１＝４＋２＝６
こういう定義になります。

補足

２×３＝６については理解しました。
ところでまた話が戻るのですが、

数の分配法則の式の左辺から右辺へ導く「やり方」を公理と呼び
行列の積の式の左辺から右辺を導く「やり方」を定義と呼ぶ。
両者の違いはどこにあるのでしょうか？

回答No.12

norelec

「公理」は「仮定」とは違います。
「仮に定めたもの」という表現は間違いです。

「公理」も「定義」も決め事という意味では同じです。
「公理」は数学の各分野における普遍的な決め事のことで
「定義」は普遍性の低い決め事です。
各分野で「公理」と呼ばれるものの数は少ないはずです。
その分野（体系）の幹となる「公理」は最初に決められるもので
後で増やすことは土台を揺るがすことになります。
定義は必要に応じていくらでも増やせます。
「定義」は有用な「定理」を導くための枝に該当します。

言い換えれば、選択する公理で異なる体系が構築できます。
『平行線の存在を肯定する公理』からユークリッド幾何学が構築され、
『平行線の存在を否定する公理』から非ユークリッド幾何学が構築されます。

注：
分配法則そのものは公理ではありません。
分配法則が成り立たない代数の体系も定義されています。
分配法則の成立・不成立は定義によります。

補足

＞分配法則の成立・不成立は定義によります。

例えば２×３＝６でなかったら分配法則は成立しません。
つまりこういうことでしょうか？
例えば数の分配法則(a(b+c)=ab+ac))は左辺から右辺を導いているだけで、その右辺の計算方法までは言及していません。（abの計算方法とacの計算方法のことです）
abの計算方法は定義なのでしょうか？
（たとえば２×３＝６というのは定義なのでしょうか？）
だとするなら行列の積が定義であることも納得できる気がします。
何故なら行列Ａと行列Ｂの積の計算方法なのですから。

回答No.11

nejiyama

NO.6です。すいません。行列の掛け算は命題ではありませんので、定義でも公理でも定理でもありませんでした。
ですが定義というのは絶対に違います。計算方法が定義なはずがありません。定義というのは、繰り返しますが、用語の説明のことです。
そして公理というのは、推論の基礎として無条件に認めるもののことです。
これに間違いはありません。

補足

＞行列の掛け算は命題ではありませんので、定義でも公理でも定理でもありませんでした。

ではいったい何なのでしょうか？

＞定義というのは絶対に違います。計算方法が定義なはずがありません。

下記のグーグル検索結果をご参照ください。
行列の積の定義
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E7%A9%8D%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%BE%A9&lr=

行列の積を定義
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E7%A9%8D%E3%82%92%E5%AE%9A%E7%BE%A9&lr=

回答No.10

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

まず、「線形代数」と「行列」は直接には関係ありません。線形代数のひとつの構成例が、行列です。

さて、線形代数とは（正確な用語は忘れたので……）
１）ベクトルと呼ばれるものが存在する
　　・ベクトルは互いに「足しあわせる」ことができる
　　・ベクトルは互いに「かける」ことができる
　　・ベクトルのかけ算と足し算の間には、分配法則が成立する
２）スカラー量が存在する
　　・スカラー量とベクトルはかけ算をすることができる
　　・スカラー量とベクトルの足し算の間には分配法則が成立する

こんな感じのものが、「線形代数の公理」です。

この公理さえ満たせば、どのようなものでも、線形代数の手法で取り扱うことができます。
そのひとつが「行列」です。

そして、線形代数の公理と矛盾しないように、行列相互の計算方法を決めたのが、行列における「定義」です。

また、公理は、相互に独立しており、他の公理や定義から証明することはできません。ユークリッドの平行線の公理が他の公理で置き換えられるのがよく知られた例です。

定義が正しいかどうかは、もとになる概念の公理と矛盾しないかどうかで確かめられます。すなわち、本当は、「行列の演算では分配法則が成立する」のではなく、線形代数の公理の要求に従って、行列の演算で、分配法則が成立するように、計算方法を定義した……ということになります。

公理が正しいかどうかを確かめるのは少々大変です。（公理が相互に独立していて、他の公理から証明することができないから）
公理が正しいかどうかは、一連の公理をもとにして、互いに矛盾する定理が証明できないかどうかという点で判断します。（公理の無矛盾性）

線形代数という枠組みを外して、「行列計算」という枠組みだけで数学を構成するのであれば、行列の計算方法を「公理」と呼んでもかまいません。
その計算方法が、妥当かどうかは、その計算方法を採用することで矛盾が発生しないかどうかでしか判断できなくなりますので。

枠組みを、線形代数の中の行列と考えたとき、行列に関する具体的な決めごとは、「定義」となります。

補足

＞線形代数の公理と矛盾しないように、行列相互の計算方法を決めたのが、行列における「定義」です。

ということは
「数の分配法則（公理）に矛盾しないように、数相互の計算方法を決めたのが数における積の定義。」
と言う風にも言い換えられると思います。
つまり２×３＝６というのは定義ということでしょうか？
だとするなら行列の積も定義であると納得できる気がしてきました。

＞、「行列計算」という枠組みだけで数学を構成するのであれば、行列の計算方法を「公理」と呼んでもかまいません。

これが僕の一番聞きたかったことです。

回答No.9

graphaffine

しょうもないミスをしました。訂正します。

誤－－定義は、前提となる命題、定義は用語や概念の

正－－公理は、前提となる命題、定義は用語や概念の