フーリエ級数について

質問

フーリエ級数について簡単に調べると直流成分+基本波成分+高調波成分の合成によって表すもので、その逆で3つに分解することがフーリエ級数展開だというものでよろしいんですか？
また、計算式がインテグラルド？ｆみたいなやつと、sinを使う2つがあるのですが、どちらを使うべきなのでしょうか？

回答No.1

atomicmolecule · ベストアンサー

フーリエ変換にはいくかの種類がありますが、どれも考えている関数を波の重ねあわせであらわそうというものです。

（１）フーリエ級数展開　(f(x)=Σ_n sin(nπx/L)とか）
（２）フーリエ積分表示　f(x)∫dk F(k)e^{ikx}

があります。（１）は周期的な関数に使います。（２）は周期がない-∞～∞で定義された関数に使います。扱える関数としては（２）の方が広いわけなので（２）だけ勉強すれば（１）は必要ないわけです。しかし（２）の積分表示で周期のある関数を扱ってみると（１）の形に帰着します。つまり積分が消えて和になります。しかし通常の教科書は（１）を勉強してその拡張として（２）を説明するパターンが多いと思われます。理由はフーリエ級数の方が数学的に扱いやすいですからです。δ関数ならっていたら、例えばF(k)=δ(k-1)-δ(k+1)のような例を考えると

∫dk F(k)e^{ikx}=∫dk [δ(k-1)-δ(k+1)]e^{ikx}
=e^{ikx}-e{-ikx} =2isin(kx)

となって（１）の級数表示みたいになります。この関数はsinですから周期があるということになります。
もともとsinが周期関数だから答えも周期関数になるのです。

質問の答えですが、

周期がある関数f(x)=f(x+L)などの場合には（１）を使います。（２）を使ったら無駄な努力をして（１）に帰着しますから時間の浪費です。

____/|_____/|_____/|_____

↑この関数は周期ありますよね、よってフーリエ級数展開を使ってください。

周期がない関数で-∞～∞で定義されたものはフーリエ積分変換して、フーリエ（積分）逆変換で表します。

お礼

ありがとうございました。