√ｘ＋√ｙ≦１

質問

√x＋√y≦1という不等式から
ｘとｙの範囲０≦ｘ≦１，０≦ｙ≦１が導けるのはなぜですか？
私は√Aの性質A≧0が関係しているのかなというところまで発想したんですけど、それから先がどうもわかりません。ご教授願います。

回答No.11

pyon1956 · ベストアンサー

#6です。何度もどうも。
＞要するに0≦x≦１，0≦y≦１は、両方同時に満たす必要がないということですね
っていうのは逆で、両方同時に満たさなければならないし、「「その上」」にそれだけでは足りない（かもしれない）ということです。
こういうのが必要条件ですね。無くちゃ困るけどそれさえあればそれでいいというものではない、そういう条件。下品なたとえですがパンツはかずに外へ出てはいけない、という場合、パンツさえはいてりゃいいかというと海辺でもないかぎりやっぱしNGですよね。
つまり√x＋√y≦1　⇒　０≦ｘ≦１，０≦ｙ≦１ですが、逆は必ずしも成り立たないのです。このあたり、必要条件、十分条件、必要十分条件（同値）、真理集合などについて調べられると良いでしょう。

ちなみに#10さんが仰る通りこれは放物線ですが、
一般に(x/a)^n+(y/b)^n=1の形の曲線をラメ曲線といい、これの特殊な場合が、楕円や放物線、アステロイドなどになります。
http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/ac1.html

参考URL：

http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/ac1.html

お礼

何度も詳しい御回答ありがとうございます。
必要条件の概念の例えのおかげですっきりわかりました。やはり「論理」力不足ですね。
ラメ曲線なんて知りませんでした。知識も広がって良かったです。
ありがとうございました。

回答No.12

oyaoya65

#2,#7,#8です。
訂正補足します。

A#10さんがおっしゃるように質問の曲線は、原点の周りの座標軸の回転移動をすれば通常みる形式の放物線になります。
Y=(x+y)/√2,X=(x-y)/√2という左周りに45°回転すれば通常みる形式の
上下方向の放物線
の式
Y=(1/√2)X^2+1/2√2
の一部(|X|≦1/√2)となります。

お礼

回答ありがとうございます。よく見る形ではなかったので気付きにくかったです。放物線の準線が斜めになった形式でした。

回答No.10

eatern27

参考までに。

＞√x＋√y＝１って放物線の方程式ですよね？！
√x＋√y＝１を満たす(x,y)をxy平面上にプロットしてできる図形は放物線になります。
ただ、0≦x≦1、0≦y≦1という条件があるので、放物線全体ではなく、放物線の一部です。

√x＋√y＝１
を二乗したりして、√を消していくと、x^2+y^2-2x-2y-2xy+1=0となります。
これをu=(x+y)/√2,v=(x-y)/√2で変数変換すると、

2v^2-2√2u+1=0より、u=(1/√2)v^2+1/2√2となります。これは、確かに放物線の方程式ですよね。

従って、√x+√y=1は、xy平面で言うと、
・直線y=xを軸として、
・点(1/4,1/4)が頂点で、
・点(1,0)を通る
放物線の、点(1,0)から点(0,1)までの部分ですね。

あるいは、この図形を原点を中心に45°回転させると、
y=(1/√2)x^2+1/2√2　(-1/√2≦x≦1/√2)
という放物線(の一部)に重なりますので、この放物線を原点を中心に-45°回転させたものと思ってもいいと思います。

お礼

ですよね！！

アドバイスありがとうございました。

回答No.9

noname#14572

ANo.#5です。

#6さんが説明してくださいましたが、要は

「√x＋√y≦1 という不等式が成り立つようにするには
少なくとも０≦ｘ≦１，０≦ｙ≦１という条件を
満たしてなければダメだよ。」

ということです。

「x=2とかy=3じゃ成り立たない。」

という事は言えますが、かといって

「０≦ｘ≦１，０≦ｙ≦１が成り立っていれば
√x＋√y≦1 になる」

とまでは言えません。だからx=y=1だと√x＋√y≦1 は
満たさないのです。

ちなみに√x＋√y＝１は放物線じゃないです。
エクセルで描いたらナイキのマークみたいになりました。
不等式の表す領域（斜辺の凹んだ直角二等辺三角形）は確かに０≦ｘ≦１，０≦ｙ≦１の範囲に収まります。

お礼

回答ありがとうございます。ぼやぁっとですが、わかってきました。

回答No.8

oyaoya65

#2,#7です。
A#7の補足質問について

＞√x＋√y＝１って放物線の方程式ですよね？！
放物線ではありません。
√x＋√y＝１を変形すると
y＝(1-√x)^2＝1 + x - 2√x
となります。

放物線は
x＋√y＝１や√x＋y＝１ですね。

√x＋√y＝１のグラフは
√(|x|)＋√(|y|)＝１の第一象限のグラフを切りとったものですね。

（参考）
どちらかといえば、星芒形（アステロイド、asteroid）に似た曲線になります。
星芒形の式は
x^(2/3) + y^(2/3) = 1
ですが。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/curve/asteroid.htm

質問の不等式は星芒形に似た曲線の原点側の領域で、第一象限内の領域ですね。当然,この領域内の点(x,y)のx,y座標は、０≦ｘ≦１，０≦ｙ≦１に存在していますね。

お礼

回答ありがとうございました。
アステロイドですか・・・
グラフでなら何となく理解できました。

回答No.7

oyaoya65

#2です。
以下の最後のX≧0はY≧0の誤植ですので訂正してください。
＞x=X^4,y=Y^4,X≧0,X≧0
＞X^2 + Y^2≦1,X≧0,X≧0

＞４乗とかする累乗演算って、何か別の条件とか出てきそうで・・・使える場合と、問題によっては使えない場合がありそうな・・・
A#2の補足について

４乗の演算は、以下のという条件下で成り立つ関係ですね。
x=X^4,y=Y^4,X≧0,Y≧0
x≧0,y≧0(根号内の条件)
もちろん、x,y,X,Yが実数です。

お礼

回答ありがとうございます。あまり高次にしたくなくって（何かと面倒なんで）次数を上げずに解きたい性分でして（頭が良くなくて・・・）。
まず図形的に解釈できるよう頑張ってみます。度々の回答ありがとうございました。

補足

！！　今気づいたんですけど　！！
√x＋√y＝１って放物線の方程式ですよね？！
これが何か不等式に図形的な意味を持たせている要因ではないでしょうか！？どなたかご教授願います！！

回答No.6

pyon1956

#4,5についての補足。
つまり0≦x≦１、0≦y≦１は必要条件ですね。この方程式の形から、こうでないといけない、といっているだけで、これは解ではありません。
そうではなくて解がこの条件を満たしていないとダメ、っていってるだけですね。混同しないように。
たとえば「求人　２０歳以上」というのはたとえば１８歳ではダメ、っていってるだけで、２０歳以上なら誰でも良いよといってるわけではない。それと同じで、解ではなく解が満たすべき条件（の内で明らかなもの）がこれです。

お礼

具体例を交えたアドバイスありがとうございました。
数学って論理面でも難しいんですね。

補足

要するに0≦x≦１，0≦y≦１は、両方同時に満たす必要がないということですね。だって、ｘもｙも１だったら0≦x≦１，0≦y≦１は満たしているけど√ｘ＋√ｙ≦１は満たしませんしね。不等式の記述方法の限界として捉えておくしかないですかね？

回答No.5

noname#14572

ルートの中身はマイナスにならないし、
プラス（または0）同士の足し算が1以下ということはそれぞれの項が1より大きくなる事はないので、
そんなに難しく考えなくてもいいのでは？

お礼

回答ありがとうございました。
そうなんですよね、不等式をじっと見て厳密に考えようとするから可笑しなことになるんです。直観的にはそう(御回答のように)考えれば問題ないんですよね。

補足

xもyも１のとき（範囲を満たしている）は、成り立たない気がするのですが・・・√1＝1で、1+1=2で不等式に矛盾しませんか？
ここら辺をどう考えれば良いのでしょうか、お願いします。

回答No.4

graphaffine

２乗云々の回答がありますが、０≦ｘ≦１，０≦ｙ≦１
だけを示すのだったらそれは必要ありません。
√x＋√y≦1ならば、０≦√xであることに注意すると、√y≦1となり、ｙ≦１がわかります。
０≦ｙは自明ですね。従って、０≦ｙ≦１
が言えます。
０≦ｘ≦１についても同様。

蛇足ながら、念のため付け加えておくと、解（x,y）は
条件０≦ｘ≦１，０≦ｙ≦１を満たします。が、その逆
は成り立ちません。即ち、０≦ｘ≦１，０≦ｙ≦１を満たす場合でも、それが解になるとは限りません。

お礼

回答ありがとうございました。蛇足部分が気になります。ということは、必要十分的な解ではない？それって解って言えますかね？

回答No.3

kochory

まず、ルートの中身は0以上でなければいけないので
0≦y…(1)

次に、√xそのものも0以上の数ですから
0≦√x
また、与式の左辺から√xを移項して
√y≦1-√x
これらの不等式の辺々を加えて
√y≦1
これの両辺を二乗すれば（両辺ともに正なので不等号の向きは変わらず）
y≦1…(2)

(1)と(2)より、0≦y≦1
xについても同様にすれば出ます。

お礼

回答ありがとうございました。だいぶ疑問が氷解しました。不等式の辺々を加えるんですね。

回答No.2

oyaoya65

x,yは√の中にあるので
x≧0,y≧0はいいですね。

x=X^4,y=Y^4,X≧0,X≧0
とおくき不等式に代入すると

X^2 + Y^2≦1,X≧0,X≧0
が成り立ちますね。

この不等式は、点(X,Y)が、原点(0,0)を中心とする半径1の円周とその内部の領域で、第一象限（X軸,Y軸を含む）の領域に存在することを表しています。
つまり、(X,Y)は
0≦X≦1，0≦Y≦1

の範囲にあります。

したがって、各辺を4乗して
0≦X^4≦1，0≦Y^4≦1
となります。

x=X^4,y=Y^4を代入すれば
質問の結果が導けますよ。

お礼

回答ありがとうございました。円の考え方がやっとわかりました。が、４乗する辺りが自然に発想できません。４乗とかする累乗演算って、何か別の条件とか出てきそうで・・・使える場合と、問題によっては使えない場合がありそうな・・・