2次方程式の利用

質問

縦30ｍ、横40ｍの城の敷地がある。その周りのお堀の面積が等しいとき、お堀の幅を求めよ。
という問題です。

お堀の幅をx(m)とすると
城の敷地は
縦30－2x
横40－2x

城の敷地＝お堀の面積　という等式を作ればいいのですよね！
作ると
(30－2x)(40－2x)＝40×30÷２となっていました。

お堀の面積の出し方がわかりません。
詳しい解説お願いします。

http://www.higo.ed.jp/ws/renrakuws/c_data/c_sugaku/h15_c_suugaku_test_03K3-3-6.pdf

の問題と同じです。

回答No.5

oumasan2 · ベストアンサー

すみません。先ほどのoumasan2です。問題ページを見て幅が同じと言うこと、お堀を入れて縦30m、横40mだと知りました。
だとすれば貴方の考え方でOKです。
展開すると、
1200-60x-80x+4x2（二乗）=600
移項して、
4x2（二乗）-140x+600=0
各辺を４で割ると、
x2（二乗）-35x+150=0
因数分解して
(x-30)(x-5)=0
つまりx=30,5
ここで、x=30では幅には適さない（大外枠でも30mが限界）ので、x=5のみ適用されます。
しかがって
お堀の幅は５ｍ
となります。

回答No.4

oumasan2

２次方程式を用いるということは、お堀の幅が同じと仮定した場合のことですね。
お堀の外枠で考えると、
(30+X)(40+x)-1200=1200となります。
＜お堀を入れた総面積-内部の敷地面積=1200＞という意味です。計算をして簡略化すると最終的にはX2（二乗）+35X-300=0になります。しかしこれは因数分解ができず、もしどうしても解を出すなら、解の公式(X=-b±√b2（二乗）-4ac/2aを活用し、ここに当てはめなければなりません。解としては無理数になると思います。
しかしこれはあくまでも堀の幅がどこでも同じという場合のみの考え方です。

ここで発想の転換をしてみましょう。つまり「幅が同じでなくても」と考えるのです。そうすれば例えばお堀も入れた外枠が縦40m横60mでもいいわけです。中の敷地の中心と外枠の中心が同じ箇所であれば、（図に書くと分かりやすいです）お堀の幅は10mと5mになりますね。これでも立派にお堀の1200m2になりますよ。
また、必ずしも敷地はその中心にくるとも考えられません。すなわち面積が2400m2の長方形の中で、縦30m横40mの長方形を自由に動かすことができるとも考えられます。（実際にやってみると納得します。）
結論
○幅が同じなら２次方程式の解の方程式で強引に導く。
○幅が任意でないなら、答えは無数にある。（先ほどの10mと5mも、その中の１つの解と言えます）

回答No.3

osumitan

問題は「お堀の幅を求めよ」なので、
立てた方程式をxについて解けばいいんでしょうが、
お堀の面積を求めたいのですか…？
質問の中に40×30÷2だと書いてますよね？
なぜこういう方程式になるのか？という話であれば、
40×30の敷地全体の中に、お互いに面積の等しい
城とお堀があるのですから、半分ずつってことですよね？
だから、40×30の半分が、城の面積でもあり、お堀の面積でもある
というわけでしょう。

補足

みんなさん、ありがとうございます。
求めるものはお堀の幅です。

いまいち、40×30の敷地全体の中に、お互いに面積の等しい城とお堀があるのですから、半分ずつってことですよね？
という部分がよくわかりません。特にどうしてお互いに面積の等しい城とお堀があるのかがわかりません。どうしてそうなるのですか？

回答No.2

0sige0

こういうのって、多分著作権の問題でダメだったと思いますよ。

左辺＝お堀を除いた城の面積
右辺＝城の半分の面積（＝お堀を除いた城の面積＝お堀の面積）

お堀を除いた城の面積＋お堀の面積＝城全体の面積
ですから、
お堀を除いた城の面積＝お堀の面積
ってことは、
お堀を除いた城の面積＝お堀の面積（＝城全体の面積÷２）
ってことです。

回答No.1

rider-chonchon

敷地内に

お堀と残りの部分

があるので、２で割ってあるのです。敷地と堀は別ではありません。

わからなければ図を書いてみたらどうですか？