高1の2次不等式文章題について質問です。

質問

高1の2次不等式文章題について質問です。

同じような問題があるのですが、解答の仕方が違い、困っています。

（１）周の長さが１６ｍで縦の長さが横の長さ以下の長方形上の囲いを作る。
囲いの中の面積を１２ｍ^2 以上にするには、縦の長さをどのような範囲にとればよいか。

（２）
周の長さが３２㎝で縦の長さ以上の長方形を考える。この長方形の面積を４８㎝^2 より
大きくするには縦の長さをどのような範囲にとればよいか。

で、
面積の部分の範囲は同じやり方なのでわかるのですが、辺の部分の範囲の決め方が、
（１）は
縦の長さをｘｍとすると、横の長さは(８-ｘ）ｍである。
ｘ＞０かつ　ｘ＜＝８-ｘから
０＜ｘ＜＝４

これはわかります。ところが
（２）は
ｘ＜１６かつ、ｘ＞＝１６-ｘから
８＜＝ｘ＜１６となっています。

この問題の違いは縦と横の長さの関係なので、（２）で横をｘとして無理やり考えようとしても、
やはりｘ＞０にすると、後の面積との共通範囲がおかしくなってしまいます。
これはどうしてなのでしょうか。

回答No.4

kiha181-tubasa · ベストアンサー

文章題のコツは「文章を正確に数式に翻訳する」ことです。

（１）
縦の長さをxメートル(x>0)とすると，横の長さは(16-2x)/2=8-xとなりますね。そして「縦の長さが横の長さ以下」の条件があるから
x≦8-x　∴0<x≦4　……①
また，この時の囲いの中の面積は
x*(8-x)平方メートルです。
「囲いの面積を12平方メートル以上にする」の条件から
x*(8-x)≧12
x^2-8x+12≦0
(x-6)(x-2)≦0
2≦x≦6　……②
①②を共に満たすxの値の範囲は
4≦x≦6　……答

（２）
「縦の長さ以上の長方形」は「縦の長さが横の長さ以上の長方形」と解釈してよいですね。
縦の長さをxメートル(x>0)とすると，横の長さは(32-2x)/2=16-xとなりますね。そして「縦の長さが横の長さ以上」の条件があるから
x≧16-x　
もちろん横の長さも0以上なので16-x≧0からx≦16です
∴8≦x≦16　……③　（
「面積が48平方センチメートルより大きくする」の条件から
x*(16-x)>48
x^2-16x+48<0
(x-4)(x-12)<0
4<x<12　……④
③④を共に満たすxの値の範囲は
8≦x<12　……答

となるのですが，どこに疑問があるのでしょうか。

回答No.5

gamma1854

縦をｘcm, 横をｙcmとすると題意は、
x+y=16, x≧y, x*y≧48.
となり、第二、第三の不等式からｘｙ平面上の領域を図示し、その領域内において x+y=16 が成り立つためのｘの範囲を求めると、
8≦ｘ≦12
となります。
※図示して考えてください。

補足

皆さまありがとうございます。（１）は教科書に載っており、このように辺の方は0<xともう１つを使って範囲を決めればいいのだと思っておりました。問題集でやってみたところ、（２）以外の3問全てが0<xを使っていたので、なぜ、（２）だけが0<xを使えないのかと、パターン化しようとして頭が固くなっていました。

回答No.3

f272

縦の長さ以上の長方形というのが意味不明ですが、横の長さが縦の長さ以上の長方形という意味なのだろう。
でも何が問題なのだろう?後の面積との共通範囲がおかしくなってしまうなんてことはありません。

回答No.2

gamma1854

1) 縦：ｘ(m), 横：y(m) とすると題意は、
x+y=8, x≦y, x*y≧12
をみたす正数ｘ, ｙについて、ｘの取りうる範囲を考えます。
---------------
x≦y, x*y≧12 を満たすｘｙ平面上の領域を求め、その領域内で直線 x+y=8 をみたすｘの範囲を求めてください。
( 2≦ｘ≦4 )
2) は「・・・縦の長さ以上」とは意味不明です。

補足

すみません、（２）が意味不明でしたね、訂正しますと、
（２）
周の長さが３２㎝で縦の長さが横の長さ以上の長方形を考える。この長方形の面積を４８㎝^2 より
大きくするには縦の長さをどのような範囲にとればよいか。

で、（１）と（２）の問題で縦の長さと横の長さがどちらが長いかの条件でどうしてこうもかわるのかという質問でした。
察するにｘを「～より長い」と「～より短い」で囲わねばならず、
（２）でｘ＜０を使うと、もう片方のｘ＜＝８とで囲えないため、
範囲を●＜ｘ＜◎にするためには
ｘ＜＝８の対になるｘ＜１６を使わねばならないということでよろしいでしょうか？

回答No.1

head1192

タテ＋横＝１６だから、タテも横も１６を超えられないのは分かりますよね。つまりタテをｘとすれば
ｘ＜１６

また、タテがｘなら横は（１６ーｘ）で、しかも「タテの長さ以上」ということは横はタテ以上でなければならないと思われるので、
（タテ）≦（横）つまり　ｘ≦１６－ｘ
となります。