小学生の知識で解けるのか？

質問

昨日(11/11）の読売新聞の社会面で、国私立中高入試について学習指導要領の範囲外と見なされる「難問」の改善通知を見送ったという記事があり、範囲外の問題例で以下の問題が載ってました。私立中学入試問題で、範囲外の理由は「円錐の体積の求め方」だったと思います。
私の疑問（皆さんに回答いただきたいこと）は、円錐の体積の求め方は分かっているとして、小学生レベルで本当に解けるのかということです。
よろしくお願いします。

【問題内容】
図形の問題ですので、図を書いてみてください。
ADとBCが平行である台形ABCDにおいて、∠ABC＝∠BAD＝90゜とします。
BC上のある点Pから垂線をひき、辺CDと交わる点をQとします。
また、辺AD上のある点をRとします。
ここで、AB,AR,BP,PC,PQの長さが与えられています。（どこの辺の長さが与えられていたか、の点の記憶があいまいです。）
このとき五角形BPQDRをABを軸に１回転してできる立体の体積を求めなさいというものです。
（記号は説明のためのもので、問題にはありません。また、記憶で書いてますので一部間違っている可能性もありますことをご了承ください。）
※読売新聞を購読されている方、問題内容を補足頂けると有りがたいです。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

三平方の定理など使わなくて良い。与えてある長さの数値にきちんと配慮がなされていれば、できないほどの問題とは思えません。でも小学生にとってはなかなか手間の掛かる難問ではありますね。

((1)五角形BPQDRのABを軸とする回転体)
= ((2)五角形BPQDAのABを軸とする回転体) - ((3)三角形ABRのABを軸とする回転体)
を求めればよい。(3)は円錐の体積ですから簡単。

((2)五角形BPQDAのABを軸とする回転体)
を求めるには補助線が必要です。QからABに降ろした垂線の足をSとしましょう。
((2)五角形BPQDAのABを軸とする回転体)=((4)長方形BPQSのABを軸とする回転体)+((5)台形SQDAのABを軸とする回転体)
BSの長さはPQと等しいから、(4)の円柱の体積は簡単に求められます。

((5)台形SQDAのABを軸とする回転体)
を求めるにはさらに補助点がひとつ必要です。すなわち、辺BAと辺CDの延長線の交点Eです。
((5)台形SQDAのABを軸とする回転体)=((6)三角形ESQのABを軸とする回転体)-((7)三角形EADのABを軸とする回転体)
EAの長さ。ここが、「指導要領からはみ出す」と指摘されうる部分ではないでしょうか。簡単な一次方程式になるからです。
しかし、(AB),(AD),(BC)がキリの良い数値であれば、目視によって(EA)を直感できる。たとえばAD = 1cm, BC = 2 cm だったら、(AB)=(EA)は自明です。それに、たとえ半端な長さが与えられても、比の概念がしっかり分かっていれば解ける筈です。

かくて、円錐(6)、(7)の体積も計算できます。

お礼

大変詳しい解説ありがとうございました。よく分かりました。
でも、本当に手間がかかりそうですね。こんな問題を解かないといけないとは、今の小学生は大変ですね。

問題の詳細が分かりましたので、この場をお借りして示したいと思います。（記憶違いがあり、図形の形を間違えていた部分もありました。でも、教えていただいた方針で解けるものと思います。）

【正しい問題内容】
ADとBCが平行である台形ABCDにおいて、∠ABC＝∠BAD＝90゜とします。
BC上のある点PからBCに垂直となるように線をひき、辺CDと交わる点をQとします。
ここで、AB=6cm,BP=5cm,PC=1cm,DA=2cm　です。
このとき四角形BPQDをABを軸に１回転してできる立体の体積を求めなさい。
ただし、円周率は3.14としなさい。

【答え】 276.32立方cm だそうです。

回答No.4

ADEMU

円錐の体積の求め方と三角形の比（相似）の計算ができれば小学生でも簡単に解けると思います。
１．ＢＡとＣＤの延長線の交点をＥとすると直角三角形ができます。このＥＢとＥＣの比は３：２となります。
２．ＱからＡＢに垂線を引きＡＢとの交点をＦとする。ＱＦはＢＰと同じであるので５ｃｍです。
３．ＡＦの長さは三角形ＥＦＱの比より４．５ｃｍとなります。よってＦＢは１．５ｃｍになります。
４．あとは計算だけで、ＥＦＱを回転させた円錐の体積とＦＢＰＱを回転させた円柱の体積を足して、ＥＡＤを回転された円錐とＡＢＤを回転させた円錐の体積を引けば
（１／３＊５＊５＊７．５＊３．１４）＋（５＊５＊１．５＊３．１４）－（１／３＊２＊２＊３＊３．１４）－（１／３＊２＊２＊６＊３．１４）＝８８＊３．１４となり
２７６．３２ｃｍ＾３となります。

お礼

>小学生でも簡単に解けると思います。
簡単ですか？（今の中学受験生にとっては簡単なのかな？）
４の求め方（どういう風に足し引きするか）って、すぐ思いつきますかね？
これが思いつかないと、長さを計算すること自体はできても、どこの長さを求めなければならないかって分からないですよね。

記事によると、（三角形を）回転してできる立体が円錐になる、ってことが小学校で扱う内容を超えているそうです。相似比も中学で習う内容だと思いますけど…。

わざわざ計算を示していただきありがとうございました。

回答No.2

takekan

小学校の学習指導要領を把握しているわけではありませんので正確なことを言えませんが、数年前に学習塾で教えていた経験から簡単にコメントさせていただきます。

この問題は、以下の知識を総合して回答することが可能です。
１．図形を回転させたときの形を考えることができる
　　→円錐台の形になる
２．比の性質を理解している
　　→高さなど、各辺の長さを求めるために必要
　　（問題の詳細がわからないので、この知識は問題によって不要）
３．○○錐の体積の計算方法を理解している
　　→○○柱の体積÷３＝○○錐の体積
４．円錐台の体積は、大きい円錐－小さい円錐で求められることを理解している
　　→これは、知識というよりも図形を把握しているかどうかがポイント

少なくとも、１，２，３について中学受験をする小学生は理解していますので、回答できると思います。ただ、これらの知識が学習指導要領と照らし合わせて逸脱しているかどうかは、申し訳ありませんがちょっとわかりません。

お礼

回答を拝見して、解けない問題ではないというのは、なんとなく分かります。（２の比について、中学受験生が持っている知識であることは盲点でした。）
しかし、#1の方へのお礼に書いた疑問が残ってますが。
ありがとうございました。

回答No.1

nozomi500

平面を回転させて立体ができる、それでその体積を求める、ということ自体が、「高校入試」の範囲じゃないかと思うのですが・・。

小学生だと文字式を使えないので、計算がめんどうになるとおもいます。
フツウに考えれば、立体の分割ですね。円柱をもとめて、円錐を引いて、大きな円錐から小さな円錐をひいて・・。

ただ、点Ｑと回転軸ＡＢの距離ですが、ピタゴラスの定理などつかわずに求められるのでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。
私も立体の分割は分かるのですが、どう分割するんだろうかというのが疑問なんです。どのように分割しても小学生レベルで出せない部分があるんじゃないかと思えて。
三平方の定理はどうなんでしょう。３：４：５とか、１３：１２：５の直角三角形ぐらいは使うのかも知れないです。

補足

>ただ、点Ｑと回転軸ＡＢの距離ですが、ピタゴラスの定理などつかわずに求められるのでしょうか？
点Ｑと回転軸ＡＢの距離＝BPで、与えられていたと思うのですが…
と、ここまで書いたのですが、ひょっとして
>BC上のある点Pから垂線をひき、辺CDと交わる点をQとします。
この書き方が悪くて（間違っていて）、PQ⊥CDと思われたのでしょうか。
正確には　BC⊥PQです。よろしくお願い致します。