三角形の問題です

質問

AB=5,BC=7,CA=8,∠A=60°の三角形。点AからBCに垂線を引き交点をDとする。
辺AB,AC上に点P,Qをとる。ΔPDQの周の長さの最小値を求めよ。
先日出題された某高校入試問題です。よい問題なのでしょうが、解けません。

回答No.1

info22_

添付図のように辺ABに対するDの対称点E、辺ACに対するDの対称点をFをとれば
ΔPDQの周の長さLは
L=DP+PQ+QD
になります。
E,Dは辺ABに対して対称点なのでDP=EP、
またD,Fも辺ACに対して対称点なのでQD=QF
したがって
L=EP+PQ+DF
この関係は点Pが辺AB上にあり、点Qが辺ACあれば常に成立します。
一方、E,Fは決まった点なので点Eと点Fを点Pと点Qを経由する経路Lの最小値は点Eと点Fを直線で結ぶ経路の場合で、線分EFと辺ABとの交点が最短経路の点Pの位置、線分EFと辺ACとの交点が最短経路の点Qの位置になります。もちろんLの最小値は線分EFの長さです。
△ABD≡△ABE、△ACD≡△ACFなので
AE=AD=AF,
∠BAD=∠BAE,∠DAC=CAFなので∠EAF=60°x2=120°
したがって
△AEFは頂角∠EAF=120°、AE=AFの二等辺三角形。
Aから辺EFに下した垂線の足をGとおけば、EG=GF
直角△AEGは、∠EAG=60°,∠AGE=90°,∠AEG=30°となるから
辺の比はAE:EG=2:√3なので EG=AE(√3)/2
EF=EG+DF=2EG=(√3)AE=(√3)AD …(●)

AD=h,CD=xとおくとBD=7-x
直角△ABD,直角△ACDで三平方の定理を適用すれば
h^2+x^2=64 …(A)
h^2+(7-x)=25…(B)
(A)-(B)より
x^2-(7-x)^2=39
(x-7+x)(x+7-x)=39
7(2x-7)=39
2x-7=39/7
2x=88/7
x=44/7
(A)から
h^2=64-x^2=8^2-(44/7)^2=(8+44/7)(8-44/7)=10^2*12/(7^2)
h>0から　h=(20/7)√3=AD
これを（●）に代入すれば
Lの最小値EFは
∴EF=(20/7)*3=60/7

お礼

完璧な回答、感謝します。ありがとうございました。