数列の極限について

質問

sin nπの極限を求める時、
lim sin nπ =0（n→∞）よって0に収束。
と結論からいうとなっているわけなのですが、これはどういうことなのでしょうか。　πとは360°のことなのでしょうか？であるとしてもnにはどんな数をいれてもいいわけだから、結局sin30°とかもつくれちゃうきがします（nに分数を入れたりして）で、0に収束、というところも気になったのですが、sinやcosなどの周期をあらわすとなみなみなグラフになりますよね。で収束はせずにずーっと振動するように思えてしまうのですが・・・。考え方が根本的に違っているのかもしれません・・・。よろしければ、回答をよろしくおねがいしますm(。。m

回答No.1

yoo_20052005 · ベストアンサー

何か条件が抜けていませんか？

ちなみに
π = 180°です。

例えば,以下のような問題なら
a_n = sin (nπ) (n= 0,1,2,3,.....)
で
lim_{n → ∞} a_n = 0
です。

なぜならば
sin(π) = sin (2π) = sin (3π) = sin (nπ) = ......= 0
だからです。

お礼

解決することができました。ありがとうございました！

補足

なるほど、よく分かりました（^^
数列だから、整数というか自然数（有限な値）→∞　となっていくわけですよね。ってことはπ＝180°だから、 sin0°=0 sin180°=0　だからいくらnが増えてもずーっと0だから0ってわけですね。んー、しつこいようですが・・・、答えが「0に収束」となっているわけですよ、で、どんな値を入れても0になるんだから、収束っていう言葉はおかしいですよね？もともと0なわけだから。あ、「何か条件が抜けてるか？」といわれましたが、その通りで、問題集をやっていたのですが「数列の極限」という範囲をやっていたので、An=・・・というのはどうやら暗黙の了解になっていたようです。
で、なんとか理解することができたのですが、cosやtanに置き換えた時も、cosの場合は0°=1　180°=-1　と考えて、その場合「振動」でいいのでしょうか？これで最後ですので、たびたびですがお願いします！

回答No.2

noname#14584

この問題では，数列の極限について問われているようですね．
「収束っていう言葉はおかしい」訳ではありません．定数から成る数列も，収束すると見なします．大学で勉強する数学による極限の概念(ε-N,ε-δ論法)を見るとこのことはすぐに分かります．

lim(tan(nπ))[n→∞]=1です．なぜなら，任意の自然数に関して，tan(nπ)=1だからです．
lim(cos(nπ))[n→∞]の場合，この値は存在しません．そもそもlim記号は，振動するような場合には定義されないのです．仰るとおり，数列{cos(nπ)}は振動します．

お礼

そうなんですね、収束というんですか。そのことは大学でやることですか、んじゃいまはそういうもんだと覚えておいてのちのち極限の概念というところで理解できたらと思っています（^^　
多分勘違いだと思いますけど、tanは0,180°のとき0ですよ～。　まぁ考え方はtanもcosもsinも同じようにしていいってことが分かりました、有難うございました!!