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ハミルトニアンのユニタリー変換

 原子核が原点に位置する,電子数 Z 個の原子と,光との相互作用を表すハミルトニアンを考えているのですが,ミニマル結合ハミルトニアンのユニタリー変換の過程が良く分かりません.教えていただけないでしょうか? ミニマル結合ハミルトニアンを    H' = (1/2m) Σ_{j} { p_{j}+ e A (r_{j}) }^{2}      + (1/2) ∫σ(r) φ(r) dr      + (1/2) (εE^{2} + (1/μ)B^{2}) とします.ややこしい式ですが,右辺第 1 項にだけ注目するので,説明は控えさせて下さい.  このハミルトニアンに対し    U = exp {- (ie/h~) Σ_{j} ∫_{0}^{1} r_{j}・A (λ r_{j}) dλ}     = exp {- (ie/h~) Σ_{j} B (r_{j})} なるユニタリー演算子を用いて H = U^{-1} H' U というユニタリー変換を考えます.  ただし,h~ = h/2π であり,また ∫ の積分範囲は 0 から 1 まで.また r_{j} は電子の座標です.A (r) はベクトルポテンシャル演算子です.B は,A の積分表記が複雑なので置き換えただけの演算子です.また p_{j} = p = - ih~ ∇_{j} は運動量演算子です.  H' の右辺第一項に対しユニタリー変換を行うと    U~{-1} { p + e A (r_{j}) } U = p - e ∇_{j} B + e A (r_{j}) となるらしいのですが,なぜこうなるのかが分かりません.具体的には,U^{-1} e A U = e A となるのは分かるのですが,U^{-1} p U = p - e ∇ B となるのが,なぜだか分かりません.  どなたか,ご教授いただけないでしょうか?

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相互作用表示ですね、お疲れさまです。 pは微分演算子で、Uは座標を含んでますから、 pU=Up+(pU) となります。(pU)のカッコの意味はpはUにのみ 作用して、さらに右からかかってくる波動関数 には作用させない、ということです。 右辺第一項目のUpは、左からかかるU^{-1}で、 pだけになります。 右辺第二項目の(pU)は、 =(-ih~∇)exp{-(ie/h~)Σ_{j}B(r_{j})} ですが、微分演算子の変数をr_{j}とすれば、 =(-ih~)exp{-(ie/h~)Σ_{j}B(r_{j})}  ・{-(ie/h~)・∇B} =U・{-e∇B} となりますがいかがでしょうか。

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質問者からの補足

丁寧に説明して下さり,ありがとうございます. 実は,前提条件である    pU = Up + (pU) という関係が,どうして成立するのか理解できていません.式を変形すると [p, U] = (pU) なる交換関係が成り立つような気がしますが,何か関係があるでしょうか? 定理だとすれば,何という名前の定理でしょうか?  分かりやすく説明してくださったので,この前提条件さえ理解できれば,後の部分は理解できました.差し支えなければ,前提条件の式について,御説明いただけないでしょうか?  よろしくお願いします.

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  • 回答No.2

二つの演算子の積であるpUがどんな演算子になるか、 という問題に帰着したですね。確かに私もこんがら がったような気がします。 A≡pU とおくと、Aの定義は、任意の波動関数φに対して、Aφ=pUφ が成り立つということですよね。 結合則から、pUφ=p(Uφ)なので、pが微分演算子である ことを思い出すと、=U'φ+Uφ' となります。『'』を再び、pで書き直してやれば、 =(pU)φ+Upφ={(pU)+Up}φ となって求める式が得られます。 つまり、pが微分演算子であることがエッセンスのようですね。(たとえば、pが、よく群論やBlochの定理の証明で出てくる、座標並進演算子だったりすると、前提条件は成り立ちません)。

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質問者からのお礼

演算子に注目するのは誤りで,常に波動関数 φ が隠れていることを意識しないといけないのですね. 分かりやすく教えてくださり,本当にありがとうございました.

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