• ベストアンサー
  • 困ってます

ユニタリー変換と交換関係

ユニタリー演算子Uをエルミート演算子Gを用いて U = exp[iaG] (i:虚数,a:実定数) と表し、ある演算子Aが UAU^† = A を満たすとき、交換関係 [G,A] = 0 が成り立つそうなのですが、どう証明したらよいかがわかりません。 何かヒントをいただけたらと思います。よろしくお願いします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数5
  • 閲覧数1124
  • ありがとう数5

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.4

No.2です。 (2)式は ia[G,A]+(aの二次以上の項) = 0 と書けますが、左辺はaのべき級数なのでこれが恒等的に0になるためには aの各次数の係数がすべて0である必要があります。たとえばa^2の係数 -(1/2)((G^2)A+A(G^2))+GAG = 0 です。 この問題できかれているのがaの一次の係数に含まれる[G,A]の値だけなので、 aの二次以上については言及する必要はないと思いますが上記のように各次数 の係数はすべて0になってます。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

あ、勘違いしてました。 (I+iaG+…)A(I-iaG+…) = A+ia[G,A]+… = A は「成り立つはず」なんですよね。最後の等号は UAU^† = A から得られるんですよね。2次以降は関係なかったです、すみません。 回答ありがとうございました。

その他の回答 (4)

  • 回答No.5

(質問) 「aで微分する際、 exp[iaG]∂A/∂a - ∂A/∂a exp[iaG] の項が出てきますが、これが0であるというのは自明なのでしょうか? 演算子の微分は演算子のままだと思うのですが。。確信はないですけれど。 だとしたら順番の入れ替えはできないので何か変形が必要になりますよね?」 (答) Uには定義よりaは含まれますが、Aは「ある演算子」なのでaは含まれていないと考えられます。(Gにもaは含まれていないと考えられます。さもなければ、(∂/∂a)Gの因子も出てくることになります。したがって、ここでは、”a”は単なるパラメータと考えています。) ただし、 exp[iaG]A-Aexp[iaG]=0 の両辺をaで微分するとき、すなわちexp[iaG]をaで微分するとき、 (∂/∂a)exp[iaG]=iG・exp[iaG] か (∂/∂a)exp[iaG]=exp[iaG]・iG かという疑問は起こります。しかし、exp[iaG]は「iaGのべき級数」で定義されていますので、exp[iaG]は演算子としてはGしか含んでいないので、exp[iaG]とGは可換です。(G^n)G=G^(n+1)=G(G^n) 両辺をaで微分して iGexp[iaG]A-AiGexp[iaG]=0 となります。 もちろん、GとAは一般には可換ではないので、そこは交換できません。もし、可換なら初めから[G,A] = 0となります。 私たちが使ったのは、 「ある演算子Aが UAU^† = A を満たす」という条件だけです。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

>”a”は単なるパラメータと考えています。 パラメータとして扱うというのに少し抵抗がありますが、恐らくそういうものなのだろうと今は飲み込んでおきます。 また似たような問題に出くわしたとき、詳しく勉強してみようと思います。 回答ありがとうございました。

  • 回答No.3

ユニタリー演算子Uをエルミート演算子Gとすれば、 U^†=U^(-1) G^†=G ある演算子Aが UAU^† = A を満たすとき、右からUを両辺にかけて、U^†U=I より UAU^†U = AU -->  UA=AU --> UA-AU=0 この最後の式にU = exp[iaG]を代入して、 exp[iaG]A-Aexp[iaG]=0 両辺をaで微分して iGexp[iaG]A-AiGexp[iaG]=0 iで割って、 Gexp[iaG]A-AGexp[iaG]=0 U = exp[iaG]を代入して GUA-AGU=0 第1項でUA=AUを使えば、 GAU-AGU=0  右から両辺にU^†をかければ、 GA-AG=0 これより、                              [G,A] = 0 何か問題点はありますか。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

回答ありがとうございます。 aで微分する際、 exp[iaG]∂A/∂a - ∂A/∂a exp[iaG] の項が出てきますが、これが0であるというのは自明なのでしょうか? 演算子の微分は演算子のままだと思うのですが。。確信はないですけれど。 だとしたら順番の入れ替えはできないので何か変形が必要になりますよね?

  • 回答No.2

UとU^†を展開して U = I+iaG+… , U^† = I-iaG+…  (1) ゆえに UAU^† = (I+iaG+…)A(I-iaG+…) = A+ia[G,A]+… = A (2) (2)が任意のaに対して成り立つには [G,A] = 0 (3) が成り立たなねばならないと思います。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

回答ありがとうございます。 展開の際、2次以降の項にG^2等が出てきますが、それの処理はどうなるのでしょうか?

  • 回答No.1
  • PRFRD
  • ベストアンサー率73% (68/92)

成り立ちません.例えば  G = |0 1|, a = 2π    |1 0| とおくと U = I (単位行列) になるので,  A = |1 0|    |0 0| とでも置けば,UAU^† = A は成り立ちますが,[G, A] ≠ O です. 任意の a に対して UAU^† = A が成り立つ,とかでしょうか?

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 一応「成り立つ」という結果は得られるはずなんですが...

関連するQ&A

  • 正準交換関係の物理的な意味

    添付したファイルについてなのですが、演算子を用意してから正準交換関係が成り立つことを示しています。また、φとψが自己共役な演算子であることを示し、これに対しても正準交換関係が成り立つことを示しています。 ここまで正準交換関係にこだわる理由がよく分かりません。なにか物理的な理由があるのでしょうか?

  • 角運動量演算子の交換関係

    量子力学における角運動量演算子J = (Jx,Jy,Jz)に関わる次の交換関係 (1) [ J^2,Jx^2 - Jy^2 ] = 0 (2) [ J^2,Jz ] = 0 を証明するにはどのようにしたらよいか,ご教授いただけますと幸いです。

  • ハミルトニアンのユニタリー変換

     原子核が原点に位置する,電子数 Z 個の原子と,光との相互作用を表すハミルトニアンを考えているのですが,ミニマル結合ハミルトニアンのユニタリー変換の過程が良く分かりません.教えていただけないでしょうか? ミニマル結合ハミルトニアンを    H' = (1/2m) Σ_{j} { p_{j}+ e A (r_{j}) }^{2}      + (1/2) ∫σ(r) φ(r) dr      + (1/2) (εE^{2} + (1/μ)B^{2}) とします.ややこしい式ですが,右辺第 1 項にだけ注目するので,説明は控えさせて下さい.  このハミルトニアンに対し    U = exp {- (ie/h~) Σ_{j} ∫_{0}^{1} r_{j}・A (λ r_{j}) dλ}     = exp {- (ie/h~) Σ_{j} B (r_{j})} なるユニタリー演算子を用いて H = U^{-1} H' U というユニタリー変換を考えます.  ただし,h~ = h/2π であり,また ∫ の積分範囲は 0 から 1 まで.また r_{j} は電子の座標です.A (r) はベクトルポテンシャル演算子です.B は,A の積分表記が複雑なので置き換えただけの演算子です.また p_{j} = p = - ih~ ∇_{j} は運動量演算子です.  H' の右辺第一項に対しユニタリー変換を行うと    U~{-1} { p + e A (r_{j}) } U = p - e ∇_{j} B + e A (r_{j}) となるらしいのですが,なぜこうなるのかが分かりません.具体的には,U^{-1} e A U = e A となるのは分かるのですが,U^{-1} p U = p - e ∇ B となるのが,なぜだか分かりません.  どなたか,ご教授いただけないでしょうか?

  • rのスペクトルは実数全体?

    Q_k,P_kがエルミートで、 [Q_k,P_k]=ih (k=1,2,・・・n) という交換関係が成り立っているとします。hは実定数で、iは虚数単位です。また、上記以外の交換子はゼロとします。 U(a_1,・・・,a_n)=U(a)=exp(Σa_kP_k/ih) を定義すると、 1.Uはユニタリ 2.U(a)^(-1) Q_k U(a)=Q_k+a_k が成り立ちます。 1番は各P_kがエルミートである事(P_k達が可換である事も使うかも)から、2番はexp(A)Bexp(-A)=B+[A,B]+(1/2!)[A,[A,B]]+・・・が成り立つ事から証明できます。 私の理解ではユニタリ変換でスペクトルは不変のはずですので、2番の左辺にあるQ_iと右辺のQ_i+a_iはスペクトルが同じだという事になります。そして、a_iは任意の実数で問題ないはずなので、Q_iのスペクトルは実数全体でなければいけないでしょう。 上記の議論を、極座標に当てはめてみると、rのスペクトルが実数全体と明らかにおかしなことになるので、どこかで直交座標である(最低限、極座標でない)という情報を使っていると思うのですが、一体、どこでそのような仮定を置いている事になるのでしょうか?

  • 分かる限りで構わないのでお願いします。

    分かる限りで構わないのでお願いします。 ハミルトニアン H=(p^2/2m)+{(m・ω^2・x^2)/2} で記述される1次元調和振動子を考える。ここで、座標x^,運動量p^は正準交換関係[x^,p^]=ihを満たすエルミート演算子であるとする。 a^={√(mω/2h)}・{x^+(ip^/mω)}とおくと [a^,a^’]=1, H^=hω(N^+(1/2)), (N^=a^’a^), [N^,a^]=-a^, [N^,a^’]=a^’, が成立する。これらの公式を用いて以下の問に回答して下さい。 (a^,x^,p^はそれぞれの文字の上に^があるイメージで。a^’はa^の右上に+があるイメージで。) (1)任意の状態ベクトル |Ψ〉に対し、〈Ψ|Ψ〉≧0である事実を用いて、エルミート演算子N^の固有値が、非負の整数値となることを示して下さい。また、状態 |0〉を、 a^|0〉=0, 〈0|0〉=1 を満たすものと定義するとき、Nの固有値nの固有状態が |n〉:=N_n(a^’)^n|0〉と表されることを示して下さい。さらにエネルギー固有値も求めて下さい。 (2)(1)の固有状態 |n〉を 〈n|n〉=1と規格化するとき、規格化因子N_nを決定して下さい。 (3)公式〈x|x^|Ψ〉=x〈x|Ψ〉, 〈x|p^|Ψ〉=-ih・∂/∂x〈x|Ψ〉、などを用いて波動関数φ_n(x)≡〈x|n〉を求めて下さい。 (ヒント:exp(ε^2/2)・exp(-ε/2)=d/dε-εを利用) (4)規格化された固有状態|n〉に対する演算子x,pの行列要素 〈m|x^|n〉, 〈m|p^|n〉を計算して下さい。 (ヒント:まずa^,a^’の行列要素を求め、次にx^,p^がa^,a^’を用いてどのよに書けるか考える。)

  • 反ユニタリ演算子について質問です。

    Uをヒルベルト空間上の反ユニタリ演算子とする。 すなわち (UΦ, Uψ)=(Φ, ψ)*, U(ξΦ+ηψ)=ξ*UΦ+η*Uψ であるとする。また、反線形演算子Aの共役は、 (Φ,A^†ψ)≡(AΦ, ψ)* と定義する。 このとき U^†=U^(-1) となることを示せ。

  • 量子力学について質問です。

    量子力学について質問です。 基底を{|a'>}から{|b'>}へ変換するユニタリー演算子をUとします。 ただし、A|a'>=a'|a'>、A|a''>=a''|a''>などとします。 このときU=Σ[a']|b'><a'|となります。すなわちU|a'>=|b'>などとかけます。 このときUAU^(-1)=A'とかくとA'は{|b'>}を基底としたときの演算子Aの表示ということになりますよね? 一方、A|a'>=a'|a'>よりUAU^(-1)U|a'>=a'U|a'>となるので、これを [UAU^(-1)](U|a'>)=a'(U|a'>)と見ると 演算子UAU^(-1)は固有値a'、固有ベクトルU|a'>を持つということが言えますよね? さらに一方、B|b'>=b'|b'>なので比較するとBとUAU^(-1)が同時に対角化できることを表しています。 質問はここからなのですが、UAU^(-1)は物理的にはAと同じもの、すなわち同じものの別の基底での表示と解釈しているのですが、これがBと常に同時に対角化できるという結論に至ってしまいます。AとBが交換可能なときに同時に対角化できるはずなのですが、これはどういうことでしょうか?UAU^(-1)とBが同時に対角化できるのであってAとBが同時に対角化できるかどうかは別なのでしょうか?その場合、UAU^(-1)はAの別の表示という解釈では矛盾しているように感じるのですが。。。 これらの関係は何を意味しているのかを明示しながら説明してくださると助かります。

  • 量子化した電界の交換可能性

     量子力学を独学で勉強しているのですが,8 時間ほど悩んで分かりません.教えて頂けないでしょうか?  生成演算子を a,消滅演算子を a†,波数ベクトルを k,プランク定数 h,誘電率 ε,モード体積 V,角周波数 ω_{k},位置ベクトル r とします.またモードの偏光と伝播方向を同時に表すベクトルを υ とします.  このときベクトルポテンシャルを表す演算子 A および,電場演算子 E は A = Σ_{k} (h / 4πεV ω_{k})^{1/2} υ × {a exp(-i ω_{k} t + ikr)} + a† exp (i ω_{k} t - ikr)} E = Σ_{k} i (h ω_{k} / 4πεV)^{1/2} υ × {a exp(-i ω_{k} t + ikr)} - a† exp (i ω_{k} t - ikr)} と表せます.また m, n をそれぞれ x,y,z のいずれかとして,υ のデカルト成分を υ_{m},υ_{n} とするとき, E_{m},A_{n}に対する交換関係 [E_{m} (r), A_{n} (r')] = (ih / 4 πεV) Σ_{k} ν_{m} ν_{n} {exp (ikr - ikr') + exp(-ikr + ikr')} と表されます.ここまでは理解できました.  さらに,任意のベクトル場を V (r) とし,そのフーリエ変換を V (r) = (1 / 8 π^{3}) ∫dk V(k) exp (ikr) またベクトル場の縦成分と横成分への分解を V (r) = V_{T} (r) + V_{L} (r) ∇・V_{T} (r) = 0 ∇×V_{L} (r) = 0 とします.このとき ∫dr' [E(r),A(r')・V(r')] = (ih / 2 πε) V_{T} を証明したいのですが,うまく証明できません.教えていただけないでしょうか.  自分なりに展開してみたところ ∫dr' [E(r),A(r')・V(r')] = ∫dr' (ih / 2 εV) V(r') {exp (ikr - ikr') + exp (-ikr + ikr')} かなとも思うのですが,この展開が正しいのか自信がないのと,正しいとして先に進めません.ご教授いただけないでしょうか.

  • 分かる限りで構わないのでお願いします。

    分かる限りで構わないのでお願いします。 x^,p^を座標および運動量演算子とし、次のユニタリー演算子を定義する。 (x^はxの上に^があるイメージで) τ(a)=exp(-iap^/h) (aは実定数) 次の問いに答えて下さい。 (1)|x〉をx^の固有値xに属する規格化された固有状態とする; x^|x〉= x|x〉, 〈x|x’〉=δ(x-x’). 正準交換関数[x^,p^]=ihを用いて、τ(a)|x〉もまたx^の規格化された固有状態であることを示し、この固有値求めて下さい。 (2)前問の結果を用い、任意の状態|Ψ〉に対し、 〈x|p^|Ψ〉=-ih(∂/∂x)〈x|Ψ〉 が成り立つことを示して下さい。さらにこの結果を用いて、 p^|p〉=p|p〉、〈p|p’〉=δ(p-p’) で定義される規格化された運動量の固有状態|p〉に対し、その波動関数 Ψp(x)=〈x|p〉を求めて下さい。 (3)系が並進対称であるとき、ハミルトニアン演算子H^は空間並進演算子τ(a)によるユニタリー変換のもとで不変である τ(a)H^τ(a)^-1=H^ このとき「量子力学における運動量保存則」;(d/dt)〈p^〉=0,が成立することを示して下さい。ただし、〈p^〉=〈Ψ|p^|Ψ〉は状態|Ψ〉におけるp^の期待値である。

  • 反交換関係と半整数スピン

    大学のテキスト(先生の自作)で、 『場の演算子に対する反交換関係の設定の重要性は、相対論的量子論にこの関係を設定することによって、必然的に半整数のスピンを導出できる点(通常の交換関係からは整数スピンが導かれる)にある。』 と記述されていました。 反交換関係から半整数スピン(又は交換関係から整数スピン)を導出する証明を探しています。載っているテキスト・文献がありましたら教えていただけるとありがたいです。 なお、当方の知識レベルとしては、相対論的量子力学の初歩の部分(KG方程式、Dirac方程式)、場の量子論の物性物理の基礎で必要な程度を一通り勉強したぐらいのところで、素粒子論は専門外なのでノータッチです。 よろしくお願いします。