rのスペクトルは実数全体？

質問

Q_k,P_kがエルミートで、
[Q_k,P_k]=ih (k=1,2,・・・n)
という交換関係が成り立っているとします。hは実定数で、iは虚数単位です。また、上記以外の交換子はゼロとします。

Ｕ(a_1,・・・,a_n)＝Ｕ(a)＝exp(Σa_kP_k/ih)
を定義すると、
１．Ｕはユニタリ
２．Ｕ(a)^(-1) Ｑ_k Ｕ(a)＝Ｑ_k+a_k
が成り立ちます。
１番は各P_kがエルミートである事(P_k達が可換である事も使うかも)から、２番はexp(Ａ)Ｂexp(-Ａ)＝Ｂ＋[Ａ,Ｂ]＋(1/2!)[Ａ,[Ａ,Ｂ]]+・・・が成り立つ事から証明できます。

私の理解ではユニタリ変換でスペクトルは不変のはずですので、２番の左辺にあるQ_iと右辺のQ_i+a_iはスペクトルが同じだという事になります。そして、a_iは任意の実数で問題ないはずなので、Q_iのスペクトルは実数全体でなければいけないでしょう。

上記の議論を、極座標に当てはめてみると、rのスペクトルが実数全体と明らかにおかしなことになるので、どこかで直交座標である(最低限、極座標でない)という情報を使っていると思うのですが、一体、どこでそのような仮定を置いている事になるのでしょうか？

回答No.4

nomercy · ベストアンサー

おっと座標じゃなくて運動量についての話だったか。
失礼。

Q,Pを入れ替えて
U(a) = exp(-iaQ), a:任意の実数
というユニタリー変換を考えるわけですね？

系の周期を1とすると、運動量は2πn(n:整数)でなければならないからユニタリー変換においてa≠2πnを考えるとおかしいことになる、と。

先ほどeatern27さんが書かれていたように
ちゃんと状態空間を考えておかないといけなそうですね。
つまりa=2πnのユニタリー変換によって移り変われる空間が、
周期境界条件を満たすものであり、
a≠2πnの場合にユニタリー変換で移った状態は
周期境界条件を満たさないものになっている。
という感じになっているのでしょうか。

お礼

やはり、そうなりますよね。

詳しくないですが、ヒルベルト空間が、無限次元の場合には、exp(A)というのはスペクトル定理を使って定義されていたと思います。
(有限次元の行列の場合に、ΣA^n/n!が常に収束したように)スペクトル分解さえできれば、exp(A)という演算子がいつでも定義できるんだと思っていましたが、そうでない場合もあるという事なんですかね。

どうもありがとうございました。

回答No.5

nomercy

余計なことかもしれませんが・・

この話は
　exp(A)という演算子が定義できていない
ということになるわけですか？

補足

あぁ、その辺は怪しいです^^;

Pがエルミートで、Ｕ(a)＝exp(iaP)が定義できるのであれば、U(a)は自動的にユニタリになってしまう(Ｕ†＝exp(-iaP†)=exp(-iaP)＝Ｕ^(-1)より)と思うので、そもそもＵ(a)が定義されていないのかな、と思ったんです。

実際、exp(-iaQ)を掛け算すると、周期的境界条件が満たされないので、このような掛け算の演算子は定義できていない、という事になると思うのですが・・・、どうなんでしょう？

う～ん、考えても分かりそうにないので、近いうちにまた質問するかもしれません。

回答No.3

nomercy

すみません。勘違いしてました。
交換関係は確かに[r,pr]=ihのままですね。

提案の通り、デカルト座標で一次元の無限区間の場合と有限区間の場合の違いに話を絞りましょう。
運動量をエルミートにするために前述の通りに周期境界条件を課したわけですね？

周期境界条件の場合にはスペクトルが実数全体になっても構わないということなんでしょうかね。
状態|x>と周期Lだけずれた状態|x+L>は同一視
|x> = |x+L>
することにすれば。

逆に言えば
元々の系が-L<x<Lという値だけしかとらないと考えてしまうと
（前述のようなことが起こり）あまりよろしくないことになる。
ということでしょうか。

回答No.2

nomercy

>[Ｑ_k,Ｐ_k]=ihさえ満たしていれば、『必ず』Ｑ_kのスペクトルは実数全体となる、という主張が証明されてしまっている(ように感じる)が、これはおかしくないか、というのが質問です。

何故おかしいんでしたっけ？
極座標の場合には
　[r,pr]≠ih
ですよね。

補足

3次元の場合、例えば、pr=-ih(1/r)∂_r rとすれば、prはエルミートで、[r,pr]=ihを満たします。(って、曲線座標ではこの辺の交換関係が狂うという事ですか？ 手元にグライナーの本はなく、明日は用事があるので、早くても明後日にならないとグライナーの本は見れません)

けど、どっちにしても、1つ前のお礼に書きましたように、周期的境界条件がある場合の運動量のスペクトルに関してはおかしいのではないでしょうか？

回答No.1

nomercy

これは三次元の量子力学などをやる際に必ず注意しておかなければならない点ですね。

最初の正準交換関係がデカルト座標のみで正しいことになります。
デカルト座標以外ではSchrödinger方程式の形も変わりますしね。
例えば極座標はx,y,zの非線形な組み合わせで表現されるので
[r,pr]などが単純にならないわけですね。

一般の座標系での交換関係はグライナーの量子力学とかに載ってたかと思います。

お礼

すいません、補足を書いた後に気付いたのですが、

hの正負も仮定していませんので、[Ｐ,Ｑ]=i(-h)=ih'より質問に書いた議論と同じ事をすれば、Ｐのスペクトルも実数全体である事になるはずです。
しかし、周期的境界条件がある場合などには、Ｐのスペクトルは離散的にりますので、直交座標に限っても、やはりおかしい事に変わりはないと思います。

・・・という事を書いていて思ったのですが、この証明では、ヒルベルト空間がどんな空間であるかを考えていませんが、それが問題なんですかね。

ｘ方向に周期的境界条件がある場合を考えてみますと、Ｕがユニタリ云々以前に、Ｕが定義できていない・・・のかなぁ？？？
けど、それはちょっと信じがたいので、もうちょっと考えてみます。

補足

ご回答ありがとうございます。

[q,p]=ihを満たすエルミート演算子pを用意して、古典的なハミルトニアンに「代入」しても、一般には上手く量子化できない事は承知しています。

物理的な背景があるので、ＱやＰという文字を用いましたが、

[Ｑ_k,Ｐ_k]=ihさえ満たしていれば、『必ず』Ｑ_kのスペクトルは実数全体となる、という主張が証明されてしまっている(ように感じる)が、これはおかしくないか、というのが質問です。

従って、必ずしも位置や運動量のような物理的意味を持っている必要はないはずです。仮に、「量子化が上手くいかない」というのが理由だとしても、そのような情報は交換関係には入ってはいませんので、交換関係以降の部分に理由がないといけないと思うのですが、いかがでしょうか？