ブロッホ波動関数の式(3)の由来と内積についての解説
- ブロッホ波動関数の式(3)は、1電子ハミルトニアンの式(2)から導かれます。
- 式(2)に指定した波動関数を代入し、計算を進めることで式(3)の形になります。
- 式(3)には内積が含まれており、この内積によって波動関数の性質やエネルギー状態が表現されます。
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ブロッホ波動関数
波動関数 式(1) ψ=u*exp(ikr) 1電子ハミルトニアン 式(2) Hψ={(-h'/2m)∇^2+V}ψ=Eψ h'=h/2π 式(1),(2)より ブロッホ波動関数 式(3)[1/2m{p^2+2h’k・p+(h'^2)k^2}+V]u=Eu ψ,u,Hはrの関数 Eはkの関数 なぜ、式(3)になるか教えて下さい。 以下、自分の途中計算 式(2) {(-h'/2m)∇^2+V}ψ =-h'/2m(∂^2/∂r^2)ψ+Vψ =-h'/2m(∂^2/∂r^2)u*exp(ikr)+Vψ =-h'/2m(ik^2)u*exp(ikr)+Vψ ={(h'k^2)/2m+V}ψ となり式(3)の形になりません p=h'kを使っていると思います。 なぜ式(3)で内積が出で来るかがわかりません。 詳しい解説お願いします。
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量子力学では物理量は波動関数に対する演算子で、運動量は p=-iħ∇...(i) です。運動エネルギーはp^2/2mですから 運動エネルギー=p^2/2m=-(ħ^2/2m)∇^2 であり HΨ=(-(ħ^2/2m)∇^2(uexp(ikr)+V)Ψ...(ii) となります。1次元で考えるとやさしいです。運動量は p=-iħd/dx...(iii) となり、運動エネルギーは p^2/2m=-(ħ^2/2m)d^2/dx^2...(iv) となります。すると (∇^2/2m)uexp(ikx)=-(ħ^2/2m)(d^2/dx^2)uexp(ikx) =-(ħ^2/2m)(d/dx)(u'exp(ikx)+u(ik)exp(ikx)) =-(ħ^2/2m)(u"exp(ikx)+u'(ik)exp(ikx)+u'(ik)exp(ikx)-uk^2exp(ikx)) ＝-(ħ^2/2m)(u"+2iku'-uk^2)exp(ikx)...(v) となります。これより(ii)に対応する式は -(ħ^2/2m)(u"+2iku'-uk^2)exp(ikx)+Vuexp(ikx)=Euexp(ikx) となり、両辺からexp(ikx)が消えて -(ħ^2/2m)(u"+2iku'-uk^2)+Vu=Eu (1/2m)(-ħ^2(d/dx)^2u-2ikħ^2(d/dx)u+ħ^2k^2u)+Vu=Eu...(vi) ここで(iii)を使います。 ((1/2m)(p^2+2ħkp+ħ^2k^2)+V)u=Eu となります。
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