- ベストアンサー
三角関数の積分
acm12watの回答
t=tan(x/2)とおく。 …(1) {sin(x/2)}^2+{cos(x/2)}^2=1の両辺を{cos(x/2)}で割ると, {tan(x/2)}^2+1=1/{cos(x/2)}^2 ゆえに,(1)より 1/{cos(x/2)}^2 = t^2+1 …(2) 一方,倍角の公式より {cos(x/2)}^2=(cosx+1)/2 …(3) したがって,(1)(3)より, 1/{2+cos(x)} = (t^2+1)/(t^2+3) …(4) さらに,(1)をxについて微分すると, dt/dx = (1/2)×1/{cos(x/2)}^2 ここで,(2)より dt/dx = (1/2)×(t^2+1) よって, dx = 2/(t^2+1)dt …(5) したがって,(4)(5)より ∫1/(2+cosx)dx = ∫{(t^2+1)/(t^2+3)}{2/(t^2+1)dt} 整理して, =2∫dt/(t^2+3) ここで,∫[{tan(x)}^(-1)]dx = 1/(x^2+1)を使います。 すると, ∫dt/(t^2+3) = (1/√3){tan(t/√3)}^(-1)であるので, 2∫dt/(t^2+3) = (2/√3){tan(t/√3)}^(-1) したがって,(1)より ∫1/(2+cosx)dx = (2/√3){tan(1/√3)×tan(x/2)}^(-1) 解を微分して検算してみてください。 頑張ってくださいね。
関連するQ&A
- 三角関数の積分
1/三角関数 の積分は必ずできると聞いたのですが、本当でしょうか。 例えば 1/sinx です。 ∫1/sinxdx を試してみたのですが、うまくできませんでした。 ∫sinx/sin^2xdx とし、 ∫sinx/(1-cos^2x)dx cosx=tとおく。 dx = -1/sinx 与式 = -∫1/(1-t^2)dt = -(1/2)∫{(1/1+t)+(1/1-t)}dt = log|sinx| + C となりました。 しかし、これを微分しても与式になりません。 どこか間違っているのでしょうか。 答えでは、log|tan1/2| となっていたと思います。 あと、 ∫1/cosxdx と ∫1/tanxdx も答えだけでも良いので教えていただきたいです。
- 締切済み
- 数学・算数
- この積分の問題教えてください
この問題の答えが無いので教えてください。 自分なりに解いたのですが、合ってるでしょうか? ∫[0,π/2] 1 / sinx+cosx dx tan(x/2)=t とおくと、 dx=2/(1+t^2) dt cosx=(1-t^2)/(1+t^2) sinx=2t/(1+t^2) となる。 置換した後の積分範囲は、 x|0→π/2 t|0→ 1 ∫[0,π/2] 1 / sinx+cosx dx = -2∫[0,1] 1 / t^2-2t-1 dx 分母を平方完成して = -2∫[0,1] 1 / (t-1)^2-2 dx 公式:∫[1 / x^2-a^2] = 1/2a log|x-a/x+a|なので =1/√2 log|(-√2-1) / (√2-1)| logの中が汚いかんじで合ってるか不安です。 教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分問題
A=∫[0→π/2](sin^3x)/(sinx+cosx)dx B=∫[0→π/2](cos^3x)/(sinx+cosx)dx (1)A+Bを計算せよ。 (2)AとBが等しいことを示せ。 (3)Aの値を求めよ。 (1)A+B=∫[0→π/2]{(sin^3x)+(cos^3x)}/(sinx+cosx)dx =∫[0→π/2](1+sinx+cosx)/(sinx+cosx)dx =∫[0→π/2][{1/(sinx+cosx)}+1]dx =∫[0→π/2][{1/√2sin(x+π/4)}+1]dx =[0→π/2][1/{√2log tan(x/2-π/8)}+1]dx =1/{√2log tan(π/8)} + π/2 - 1/{√2log tan(-π/8)} =(2/√2)log tan(π/8) + π/2 になったのですがこのような方法でよろしいのでしょうか? (2)に関しては、どのようにして行ってよいのかわかりません。 (3)もどうようにわかりません。 教えて頂けないでしょうか? よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数