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三角関数の不定積分
∫{1/(1+2sin x)}dx の解法を教えて下さい。 t = tan x/2 と置けば、 sin x = 2t/(1+t^2) dx = 2/(1+t^2)dt となり、 計算していくと、 ∫{2/(t^2+4t+1)}dt となると思うのですが、その先の解法が分かりません。
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＞∫{2/(t^2+4t+1)}dt ここまではあっています。 被積分関数の分母 (t^2+4t+1)=(t+2)^2 -3=(t+2-√3)(t+2+√3) が因数分解できますから 被積分関数を部分分数展開してやると 2/(t^2+4t+1)＝(1/√3)[{1/(t+2-√3)} -{1/(t+2+√3)}] となるから I=(1/√3)log|(t+2-√3)}/(t+2+√3)| +C となります。 後、t=tan(x/2)を代入して整理すれば良いでしょう。
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- connykelly
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∫{1/(t^2+4t+1)}dt=∫1/{(t+2)^2-3}dt=∫1/{(p-√3)(p+√3)dp= (1/2√3)[∫1/(p-√3)dp-∫1/(p+√3)dp]、（p=t+2）と部分分数に展開すればいかがでしょうか。蛇足ながらlnx=∫(1/x)dxでしたね。
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ご回答いただきありがとうございました。大変参考になりました。