acm12watのプロフィール

t=tan(x/2)とおく。　　　　　　　…①　 {sin(x/2)}^2+{cos(x/2)}^2=1の両辺を{cos(x/2)}で割ると， {tan(x/2)}^2+1=1/{cos(x/2)}^2 ゆえに，①より 1/{cos(x/2)}^2 = t^2+1　　　　 …② 一方，倍角の公式より {cos(x/2)}^2=(cosx+1)/2　　 　 …③ したがって，①③より， 1/{2+cos(x)} = (t^2+1)/(t^2+3)　…④ さらに，①をxについて微分すると， dt/dx = (1/2)×1/{cos(x/2)}^2 ここで，②より dt/dx = (1/2)×(t^2+1) よって， dx = 2/(t^2+1)dt　　　　　　 　 …⑤ したがって，④⑤より ∫1/(2+cosx)dx = ∫{(t^2+1)/(t^2+3)}{2/(t^2+1)dt} 整理して， =2∫dt/(t^2+3) ここで，∫[{tan(x)}^(-1)]dx = 1/(x^2+1)を使います。 すると， ∫dt/(t^2+3) = (1/√3){tan(t/√3)}^(-1)であるので， 2∫dt/(t^2+3) = (2/√3){tan(t/√3)}^(-1) したがって，①より ∫1/(2+cosx)dx = (2/√3){tan(1/√3)×tan(x/2)}^(-1)