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微分 偏微分 全微分について
shibainumodokiの回答
- shibainumodoki
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大雑把に言います。 ・微分で一番単純なのは y=f(x) （⇔ y-f(x)=0） ですね。これを、両辺 x で微分すると dy/dx=df(x)/dx と簡単ですね。 しかし、g(x,y)=0 なる関数の dy/dx や dg/dx を求める時は、両辺を x で微分するのですが、g(x,y)=0 の中に yの関数h(y) が混じっていたら、陰関数の微分 dh(y)/dx = (dh(y)/dy)・(dy/dx) を用いなければいけませんね。 例えば F(x,y)=x^2+y^2-1=0 のdy/dx を求めるには両辺 x で微分して 2x + 2y・(dy/dx) より y≠0 の時、dy/dx = -x/y また dF(x,y)/dx = 2x + 2y・(dy/dx) ですね。 ・偏微分では、他の変数を定数とみなして微分するモノなので F(x,y)=x^2+y^2-1 の ∂F/∂x を求めるにはx以外の変数は定数扱いなので、∂F/∂x =2x となりますね。 つまり、普通の微分（常微分）では 『xで微分するとは他の変数もxの関数として扱う』、偏微分では『xで微分するとは他の変数は定数として扱う』ということではないでしょうか？ 全微分 dF(x,y)=(∂F/∂x) dx + (∂F/∂y) dy と表しますが、dx は x の微小な変化のことを表すように、F(x,y) のほんの微小な変化を表しているのと思います。
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