微分 偏微分 全微分について

質問

微分、偏微分、全微分の計算の仕方はわかるのですが、それがどういう意味なのかよくわかりません。偏微分、全微分とはどういうことなのでしょうか？どなたか簡潔に説明していただけませんか？教科書を読んでもわからないんです～(涙)
よろしくお願いします。

回答No.4

drdevil

微分は要するに 1 次関数による近似です．x,y の 2 変数の関数 z=f(x,y) なら x, y についての 1 次式 ax+by+c で元の関数を近似します．但し接点，つまりどの点 (x, y) の周辺で近似するかで係数 a, b, c が変わります．なお c = (接点での関数の値) です．

そこで変化量を考える限りは c を無視して考えればよいのですが，係数の集まり (ベクトル，一般には行列) a, b の組合せが全微分の係数，個々の要素の a または b が偏微分です．

理論的には (大学数学では) 微分可能多様体の接ベクトル束や余接ベクトル束を勉強しなければならないのでしょうが，古典的イメージで勝負するなら，上の近似を「微少量」で置き換えて考えてはどうでしょう．

回答No.3

torahuzuku

お早うございます。
偏微分、全微分の幾何学的な意義を知ることが理解の一助になるかと思い、教科書からの抜粋ですが書いてみます。図が無いのでちょっと理解しづらいかとは思いますが…。

偏微分の幾何学的意義は、
互いに垂直な座標軸x,y,z軸をとり、曲面の方程式を
　z=f(x,y) とおくと　c=f(a,b) は曲面 z=f(x,y) 上の点P(a,b,c)を表しています。いまz=f(x,y)が点x=a,y=bで微分可能であるとします。
　x=a,y=bにおける関数f(x,y)のxに関する偏微分係数fx(a,b)は点P(a,b,c)において、曲面z=f(x,y)とPを通ってxz平面に平行な平面との交線Ａに引かれた接線が、x軸となす角の正接に等しい。同様にy軸に関する偏微分係数fy(a,b)は点Pにおいて、曲面z=f(x,y)とPを通ってyz平面に平行な平面との交線Ｂに引かれた接線がy軸となす角の正接に等しい。

全微分の幾何学的意義は、
関数　z=f(x,y) において、fx≠0, fy≠0 で、絶対値
Δx,Δy が極めて小さいときには,
Δz≒Δxfx(x,y)+Δyfy(x,y)………(1)とおく。
(1)の右辺を関数f(x,y)の全微分といい、これをdzで表す。すなわち(1)は、
dz=Δxfx(x,y)+Δyfy(x,y) と表せます。そこでこの
dz は何を表しているかということですが？まず偏微分
の時と同様に座標軸をとります。
曲面 z=f(x,y) 上の点P(x,y,z)から各軸の正方向へ、
Δx,Δy,Δzの所に点Q(x+Δx,y+Δy,z+Δz)をとり、Qを通って
z軸に平行な直線が、曲面上の点P(x,y,z)における接平面 Z-z=∂f*(X-x)/∂x+∂f*(Y-y)/∂y………(2)とおく
(2)と交わる点をRとし、Pを通ってxy平面に平行な平面と交わる点をM(これはRからxy平面に下ろした垂線の足と同じ)とするとRの座標は(x+Δx,y+Δy,z+MR)と表されます。そしてRは(2)を満足するから、
(z+MR)-z=∂f*Δx/∂x+∂f*Δy/∂y　　となり、
∴MR=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy=dz
すなわち全微分dzはMRに等しいことを表しています。
微分や偏微分の微分係数が接線を表していたのが、全微分は接平面に拡大したとも考えられるのではと思っています。
以上は、No1様のご説明の詳細になるかと思います。

ご質問の簡潔にとはなりませんでしたが、拙い説明をご理解して頂ければ幸いです。

回答No.2

shibainumodoki

大雑把に言います。
・微分で一番単純なのは　y=f(x) （⇔ y-f(x)=0） ですね。これを、両辺 x で微分すると
　dy/dx=df(x)/dx と簡単ですね。
しかし、g(x,y)=0 なる関数の dy/dx や dg/dx を求める時は、両辺を x で微分するのですが、g(x,y)=0 の中に yの関数h(y) が混じっていたら、陰関数の微分　dh(y)/dx = (dh(y)/dy)・(dy/dx)　を用いなければいけませんね。
　例えば　F(x,y)=x^2+y^2-1=0　のdy/dx を求めるには両辺 x で微分して　
2x + 2y・(dy/dx) より y≠0 の時、dy/dx = -x/y
また dF(x,y)/dx = 2x + 2y・(dy/dx) ですね。

・偏微分では、他の変数を定数とみなして微分するモノなので　F(x,y)=x^2+y^2-1 の　∂F/∂x を求めるにはx以外の変数は定数扱いなので、∂F/∂x =2x となりますね。

つまり、普通の微分（常微分）では 『xで微分するとは他の変数もxの関数として扱う』、偏微分では『xで微分するとは他の変数は定数として扱う』ということではないでしょうか？

全微分　dF(x,y)=(∂F/∂x) dx + (∂F/∂y) dy　と表しますが、dx は x の微小な変化のことを表すように、F(x,y) のほんの微小な変化を表しているのと思います。

回答No.1

yumisamisiidesu

＊私の説明が不十分の可能性大なので、補足要求としときます

質問者様は、高校レベルの１変数関数の微分なら理解できるでしょうか？
その前提で説明すると、偏微分のもう少し一般的な概念として方向微分というのがあります
これは、多変数関数の場合、特定の方向だけに注目して1変数と同じような微分をすることです
そして、方向微分のうち、特別な方向である座標軸に沿った微分を偏微分といいます
そして、多変数関数の微分では、全ての方向に隔たりなく極限変化率を考えてやる必要があります．
これをするのが全微分です．
　また、全微分の結果が偏微分の結果に帰着される定理があります．いわゆるヤコビ行列で表せるという内容の定理です．これによって、全微分の計算が具体的にできるという仕組みになってます