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級数和

Nを自然数とし、複素数ｚ＝cosθ+isinθはｚのN乗＝1を満たすとして、以下の級数和S1、S2、S3の値を求めよ。ただし、iは虚数単位(iの二乗＝1)である。 (1)S1＝1+ｚ+ｚの２乗+・・・・・+ｚの(N-1)乗 (2)S2＝1+cosθ+cosθ+・・・・・+cos(N-1)θ (3)S3＝1+cos２乗θ+cos２乗2θ+・・・・・+cos２乗(N-1)θ この３問の解法を教えてください。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • brogie
  • ベストアンサー率33% (131/392)
回答No.1

今晩は！ （１）は両辺にｚを掛けて、元の式を引くとz*S1-S1=Z^N-1となります。 （２）は(cosθ+isinθ)^N＝cos(Nθ)+isin(Nθ)を用いて出来そうです。 （３）は難しい！お手上げです！ 以上、ヒントだけ。

red_snake
質問者

お礼

こんばんわ。 早速の回答ありがとうございます。 (1)ははじめ等比数列の和でやろうとして失敗しましたが、このやり方で解決しました。答えがかなりスッキリして不安ですが・・・。 (2)はド・モアブルの定理ですよね。今挑戦しています。 (3)は(1)と(2)が出来ないと解けなさそうなのでもう少し頑張ります。

その他の回答 (1)

  • siegmund
  • ベストアンサー率64% (701/1090)
回答No.2

brogie さんにならって，私もヒントだけ． (2) は要するに(1)の実数部です． (3) は cos^2 φ = (1/2)(cos 2φ+1) と，ド・モアブルの定理の実数部， 等比級数の和の公式，この組み合わせでできます．

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