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級数和

Nを自然数とし、複素数z=cosθ+isinθはzのN乗=1を満たすとして、以下の級数和S1、S2、S3の値を求めよ。ただし、iは虚数単位(iの二乗=1)である。 (1)S1=1+z+zの2乗+・・・・・+zの(N-1)乗 (2)S2=1+cosθ+cosθ+・・・・・+cos(N-1)θ (3)S3=1+cos2乗θ+cos2乗2θ+・・・・・+cos2乗(N-1)θ この3問の解法を教えてください。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • brogie
  • ベストアンサー率33% (131/392)
回答No.1

今晩は! (1)は両辺にzを掛けて、元の式を引くとz*S1-S1=Z^N-1となります。 (2)は(cosθ+isinθ)^N=cos(Nθ)+isin(Nθ)を用いて出来そうです。 (3)は難しい!お手上げです! 以上、ヒントだけ。

red_snake
質問者

お礼

こんばんわ。 早速の回答ありがとうございます。 (1)ははじめ等比数列の和でやろうとして失敗しましたが、このやり方で解決しました。答えがかなりスッキリして不安ですが・・・。 (2)はド・モアブルの定理ですよね。今挑戦しています。 (3)は(1)と(2)が出来ないと解けなさそうなのでもう少し頑張ります。

その他の回答 (1)

  • siegmund
  • ベストアンサー率64% (701/1090)
回答No.2

brogie さんにならって,私もヒントだけ. (2) は要するに(1)の実数部です. (3) は cos^2 φ = (1/2)(cos 2φ+1) と,ド・モアブルの定理の実数部, 等比級数の和の公式,この組み合わせでできます.

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