nが自然数

質問

nが自然数

(cosθ＋ｉsinθ)のn乗＝cos nθ＋ｉsin nθ　　　ｉは虚数　

を、数学的帰納法で示すのですが、全く意味がわかりません。
誰かわかりやすい説明お願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>数学的帰納法で示すのですが、全く意味がわかりません。
数学的帰納法はどんな教科書にも載っています。
その手順通りにやれば証明できると思います。

1°) n=1で成立する

2°) n=kで成立すると仮定
つまり、(cosθ＋ｉsinθ)^k＝cos kθ＋ｉsin kθ
が成立する時、n=k+1の時も成立することを示せば良いでしょう。

(cosθ＋ｉsinθ)^(k+1)=(cosθ＋ｉsinθ)^k*(cosθ＋ｉsinθ)
=(cos kθ＋ｉsin kθ)*(cosθ＋ｉsinθ)…(■)

これを展開した後、加法定理を利用して
=cos(k+1)θ+isin(k+1)θ…(◆)

となることを示してやれば、
１°)と2°)から数学的帰納法により与式の関係が証明されたことになります。

（■）から（◆）への計算は簡単にできますのでやってみて下さい。