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n,mを自然数とするとき、
n,mを自然数とするとき、 nのm乗とnのm+4乗の一の位の数字は 同じであることの証明方法を教えてください!!
- vermouth2252
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一の位の数字が同じってことは、n^(m+4)-n^mが10の倍数になるということ。 n^(m+4)-n^m=n^m(n^4-1)=n^m(n^2+1)(n+1)(n-1) nが奇数のときは、(n^2+1)(n+1)(n-1)だけで10の倍数になることを示せる。 nが偶数のときは、n^mが偶数であるので、(n^2+1)(n+1)(n-1)が5の倍数になることを示せばよい。
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- gatch_ky
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n^m = n^(m+4) mod 10 を示す。 n^m = n^(m+4) mod 2・・(1) かつ n^m = n^(m+4) mod 5・・(2) を示せばよい。 両辺の遇数か奇数は一致するので(1)は自明。 (2)を示す。 nが5の倍数なら自明。 nが5の倍数でないとする。 1^2=1 mod 5 2^2=-1 mod 5 3^2=-1 mod 5 よってn=1,2,3のとき n^4=1 mod 5 よって n^m(n^4-1)=0 mod 5
補足
なぜ n^m = n^(m+4) mod 10 を示せればいいのかが わかりません。 あと、nが5の倍数でないときのところの 後半の よってn=1,2,3のとき n^4=1 mod 5 よって n^m(n^4-1)=0 mod 5 がわからないのですが…?
- 178-tall
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まず、質問。 「n の m乗とnの (M+13)乗の一の位の数字は同じ」じゃありませんか?
補足
nのm乗とnのm+4乗であってますよ!
- naniwacchi
- ベストアンサー率47% (942/1970)
こんばんわ。 一の位だけ分離して考えればよいかと。 n= 10p+ q(pは 0以上の整数、qは 0≦ p≦ 9を満たす整数)とでもすれば、 ・n^mの一の位は、q^mの一の位 ・n^(m+4)の一の位は、q^(m+4)の一の位 となりますね。 うまい方法があるかもしれませんが、0≦ q≦ 9ですので、このパターンを全部調べるのも一つの方法だと思います。
お礼
ありがとうございます。 1~9を何乗かしたときの一の位は 0→00000… 1→11111… 2→24862… 3→39713… 4→46464… 5→55555… 6→66666… 7→79317… 8→84268… 9→91919… と(m+4)番目と同じになすね! すごいです(0^∀^0)/ ほんとにありがとうございました。
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お礼
なるほど! わかりました!! 回答ありがとうございました。