自然数

質問

自然数は分かるのですが、高度の問題はわからいです。
参考書でも調べたのですが、似たような問題がなくてわからない。

自然数Nの十の位、一の位をそれぞれa,bとして、このときn2の十位、一位とNの十位、一とNの十位、一位が一致するものを求めるのですさっぱりです。
答えは　　25と76

私には、なにがなんだかわかりません。
詳しくおしえて

回答No.3

ticky · ベストアンサー

n^2＝100a^2＋20ab＋b^2＝10（10a^2＋2ab）＋b^2
この式をみると、n^2の一の位の数字は、
b^2の一の位の数字だとわかります。
ここで、nの一の位はbでしたので、
nとn^2の一の位どうしが一致するかどうかを考えるには、
bとb^2の一の位が一致するかどうかをみればいいのです。

実際にbとb^2が一致するのは、bがどんな数字の時か、調べてみますと

1^2＝1
2^2＝4
3^2＝9
.
.

...となり、b＝1、5、6のときに、b^2＝1、25、36となるので、一の位どうしが一致する事がわかります

bが1、5、6のときに、nとn^2の一の位が一致することがわかりましたので
今度は、nとn^2の十の位が一致するのはどんなときかを考えます。

n^2＝100a^2＋20ab＋b^2＝100a^2＋20ab＋b^2
　＝100a^2＋10（2ab）＋b^2
この式をみると、n^2の十の位に関係あるのは2abだと思えますが、実はb^2十より大きくなったら、そのぶん、n^2の十の位の数字は大きくなります。

ですから、十の位がどんなときに一致するかを考えるときには、
100a^2は無視していいけれど、10（2ab）だけで考えてはいけない、
10（2ab）＋b^2として考えなくてはいけない、ということです。

たとえば、bが6なら、b^2は36ですので、その十の位の3のぶんだけ、n^2の十の位の数字も大きくなりますよね。

お礼

やっと理解することができました。
ありがとうございます。

回答No.4

0shiete

>すいません。
>質問してもよいですか？
>100=4*5
>だと20になってしまうのですが、これは4×５のことですか？

ほんとですね！全然違いますね（笑）
100=4*25に訂正します。（*は×の意味です）

なので、

>4の倍数で、かつ、となりの数字が5の倍数である2桁の数字をさがせば
>いいことになります。

の部分は、

4の倍数で、かつ、となりの数字が25の倍数である2桁の数字をさがせば
いいことになります。

に訂正します。失礼しました。

お礼

ご親切にやっと理解することができました。
ありがとうございます。

回答No.2

ticky

まず、問題を整理。

二桁の自然数nで、n^2（nの２乗）とnを比べて、十の位どうし、一の位どうしが一致するものを求めるのですね？

もしそうなら、自然数nをa、bをまず使って表します（aは1から9まで、bは0から9までの整数が入ることが出来ます）。
すると、n＝10a+bとなります。

次に、この両辺を２乗します。n^2＝（10a＋b）^2＝100a^2＋20ab＋b^2
この式をみてみると、n^2＝100a^2＋20ab＋b^2＝10（10a^2＋2ab）＋b^2
となるので、n^2の一の位の数に関係があるのはb^2だけです。
そこで、b^2の一の位と、bが同じになるのは、bがどんな数字のときか、考えます。
一桁の数字を、ひとつずつ、２乗していけばわかりますが、b＝1、5、6のときです。

そうしますと、またn^2をみてみると、
n^2＝100a^2＋20ab＋b^2＝100a^2＋20ab＋b^2 ですから、
n^2の十の位に関係があるのは、20ab＋b^2の部分です（100a^2は関係ありません）。

ここで、場合分けをして、
b＝1のときは、
先ほどのn^2の式に代入して、
n^2＝100a^2＋10（2a）+1となって、n^2の十の位は、2aです。ところが、nの十の位と比べて、2a＝aとなるようなaは1から9の整数のなかにはありません。ですので、b＝1ではないということになります。

次にb＝5のとき。
同じようにn^2の式に代入して、
n^2＝100a^2＋100a＋25＝100（a^2＋a）＋25
＝100（a^2＋a）＋20＋5で、n^2の十の位は2ですので、nの十の位と比べて、a＝2となります。ですから、n＝25が答えの一つになります。

同じくb＝6のとき。
代入すると、
n^2＝100a^2＋120a＋36＝100a^2＋（100a＋20a）＋（30＋6）
＝100（a^2＋a）＋10（2a＋3）＋6となり、
n^2の十の位の数は、2a+3の一の位の数です（2a＋3は10以上になるかもしれません）。
これとnの十の位を比べて、
2a+3の一の位がaと等しくなるようなaを1から9の中から探すと、a＝7です。
よって、76がもう一つの答えです。

補足

せっかく、詳しく教えてもらったのですが、
一桁の数字を、ひとつずつ、２乗していけばわかりますが、b＝1、5、6のときです。
の所がわかりません。どうして、１と５と6が出るのか
そうしますと、またn^2をみてみると、
n^2＝100a^2＋20ab＋b^2＝100a^2＋20ab＋b^2 ですから、
n^2の十の位に関係があるのは、20ab＋b^2の部分です（100a^2は関係ありません）。
そのため、これもりかいできません。
ごめんなさい

回答No.1

0shiete

「N^2の十位と一位がNの十位と一位と一致するNを求めよ」
という問題ですね。

十位と一位と一致するのですから、
引き算すると、十位と一位はゼロになるはず。

(N^2-N)/100=(整数)
です。変形して
(N-1)N/100=(整数)

つまり連続した自然数で掛けると100で割れるものをさがせばいいです。

100=4*5です。また、連続した自然数は偶数、奇数のペアですから、
(N-1),Nのどちらかは4の倍数でなければなりません。
そして、もう一方は5の倍数でなければなりません。

4の倍数で、かつ、となりの数字が5の倍数である2桁の数字をさがせば
いいことになります。
これで、候補がかなりしぼられるのではないでしょうか？

補足

すいません。
質問してもよいですか？
100=4*5
だと20になってしまうのですが、これは4×５のことですか？