自然数 ０×∞ 集合を使って
さらに修正しました。
以下において、数はすべて自然数（０を含む）とします。
自然数とその加法を
0 = {}
a + 1 = {{}} ∪ {x∪{x} | x∈a}
という集合と写像だと考えます。
等号は、同じ集合（要素がすべて同じこと）を表します。
1 以外の加法は、結合法則が成立するように
a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c
によって定義します。
自然数を具体的に示せば
0 = {}
1 = {{}} = {0}
2 = {{},{{}}} = {0,1}
3 = {{},{{}},{{},{{}}}} = {0,1,2}
などになります。
等号には、次の性質が存在します。
0 = 0
a = b ならば a + 1 = b + 1
これと結合法則から
2 + 3 = 5
なども導けると思います。
加法を無限回行うことは
a + a + a + ... = Σ[k=1,∞]a
などと表し、特に a = 1 を
1 + 1 + 1 + ... = Σ[k=1,∞]1 = ∞
と表します。
これを無限公理（を若干修正した）
∃A (∀x∈a (x∈A) ∧ ∀y∈A (y∪{y}∈A))
を満足する最小の集合と定義します。
∞ を具体的に示せば
∞ = {0,1,2,...}
になります。
a = ∞ であれば、無限公理を満足する最小の集合はそれ自身であり
∞ + ∞ = ∞
となります。
乗法は
a × b = Σ[k=1,b]a
で定義します。ただし、b = 0 ならば
a × 0 = 0
とします。
以上の定義に従って計算する時、
質問１：この式は正しいですか？
1 + Σ[k=1,∞]1 = 1 + 1 + 1 + 1 + ... = Σ[k=1,∞]1
Σ[k=1,∞]1 + 1 = 1 + 1 + 1 + ... + 1 = Σ[k=1,∞]1
あるいは ∞ を使って
1 + ∞ = ∞ + 1 = ∞
質問２：この式は正しいですか？
0 × Σ[k=1,∞]1 = 0
あるいは ∞ を使って
0 × ∞ = 0
なお、∞ という記号に、ある集合を表す以上の意味はありません。
「加法を無限回行う」ことも、定義した演算のことです。
ただし、a ∈ b という関係を a < b で表すと
0 < 1 < 2 < ... < ∞
なので、自然数よりも大きな数と考えることができます。
