命題の問題です

質問

ぜひご教授ねがいます！

＜＜問題＞＞
a>0 とする
命題
|x-a|+|y-a|≦a ならば
x^2+y^2<5^3 である。
これが真であるような整数aのうち、
最大のものを求めよ

です。
答えはa=4になりますが、
いくら考えても導けません。
よろしくお願いいたします！

回答No.1

sunasearch · ベストアンサー

それぞれの領域を図示したときに、
|x-a|+|y-a|≦aの現す領域が、
完全に、x^2+y^2<5^3の中に入ればよいことになります。

|x-a|+|y-a|≦aの図は、点(a,a)を中心とする
ひし形（正方形）で、
円x^2+y^2=5^3に最も近い点の座標は、
(a,2a)または(2a,a)になります。

ですから、この点が円の内部に入るためには、
a^2+(2a)^2 < 125

5a^2 < 125

a^2 < 25

よって、

0 < a < 5