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命題を満たす最大の整数
a>0とする。 命題「|x-a|+|y-a|≦aならばxの2乗+yの2乗 <5の3乗である。」が真であるような整数aのうち、最大のものを求めよ。 すみませんが解説をお願いします。
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もう少し、詳しく説明すると。 ＞円の中心(-a、-a)と直線(1)との距離が 円(2)の半径以下であると良い。 点と直線との距離の公式から、円の中心と直線との距離＝｜3a｜/√2 であるから、｜3a｜/√2≦5√5 円の中心Ｐ(-a、-a)は、a＞0から第3象限の β＝α の上にある。 従って、｜α｜＋｜β｜＝a が表す4つの線分の中で、点Ｐから最も遠いのは、α＋β＝a である。 よって、点Ｐと直線：α＋β＝aとの距離が、円(2)の半径以下であると良い。と、いう事になる。
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- mister_moonlight
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一見して、置き換えに気がつく。 x-a＝α、y-a＝β とすると、|α|+|β|≦a ‥‥(1) のとき、(α＋a)＾2＋(β＋a)＾2＜5＾3 ‥‥(2) が成立する整数aの最大値を求めよ、という問題になる。 (1)と(2)をαβ平面上に図示すると、(2)が(1)に含まれると良いから、そのための条件を考える。 円の中心(-a、-a)と直線(1)との距離が 円(2)の半径以下であると良い。 点と直線との距離の公式から、円の中心と直線との距離＝｜3a｜/√2 であるから、｜3a｜/√2≦5√5 つまり、｜a｜≦5√10/3 であるから、整数aの最大のものは a＝5
お礼
ありがとうございました
- gohtraw
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ｘ、ｙの値により場合分けすると （１）ｘ－ａ＋ｙ－ａ＜＝ａ ｙ＜＝－ｘ＋３ａ （２）ｘ－ａ－ｙ＋ａ＜＝ａ ｙ＞＝ｘ－ａ （３）ａ－ｘ＋ｙ－ａ＜＝ａ ｙ＜＝ｘ＋ａ （４）ａ－ｘ－ｙ＋ａ＜＝ａ ｙ＞＝－ｘ＋ａ 詳細は省きますがこれらを総合すると、「|x-a|+|y-a|≦aを満たす領域は、 （ａ，０）、（０，ａ）、（２ａ，ａ）、（ａ，２ａ）を頂点とする正方形になります。この辺りはご自分で図を描きながら考えてみて下さい。この領域内の点のうち、原点から最も遠い点がx^2+y^2<5^3＝125という領域（円の内部）にあればいいわけです。 精査はしていませんが、（ａ，２ａ）および（２ａ，ａ）が原点から一番遠く、 ｘ＾２＋ｙ＾２＝ａ＾２＋４ａ＾２＝５ａ＾２＜１２５ ａ＾２＜２５ ａ＞０なので ａ＜５ が解だと思います。
お礼
ありがとうございました
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