包絡線がわかりません

質問

「実数tが変化するとき、直線y=2tx - (t+1)^2 がとおりえる範囲を図示せよ」という問題なのです。定石はtの２次方程式として、実数条件より解くのだと思うのですが、包絡線で考えた場合、そのtの２次方程式に実数条件Dを使ったときに出てくる式がなぜ包絡線なのかよくわかりません。これは、直接考えるのではなくて、「tの２次方程式として、実数条件より解いた結果」から考察すると、その軌跡が曲線になるので、もとの直線 y=2tx - (t+1)^2 はその曲線の接線だということでしょうか。それと、問題文の直線 y=2tx - (t+1)^2 とこれに実数条件を使った y=x^ - 2x という式を連立すると、x=t+1 で接するということがわかると思うのですが、このx=t+1がx=3tでもx=4t+3でもtが変数なのだから、図示してみるとどれもy≦x^2 - 2x と同じ領域を表す図になると思うのですが、なぜこれは違うのでしょうか。

回答No.7

stomachman

「判別式の結果から、経験的に放物線を思い浮かべて」或いは定石だの逆のナンとかだの、そういった受験数学テクニックの話をなさっているのであれば、以下無視してください。

一般に
「f(x,y,t)=0　を満たす実数tが存在するような、実数の対<x,y>の集合Aを求めよ。」
と言われれば、問題文そのまんま、
A = {<x,y> | ∃t(t∈R ∧ f(x,y,t)=0) }
で答になってる訳ですが、さらに「Aを媒介変数tを使わないで(x,yだけで)表せ。」と注文されている訳です。要するに「tを消去せよ。」ということ。
　tをある値に固定したときにf(x,y,t)=0が曲線や直線になっている、というのは問題の本質から言えばどうでも良いことです。
　例えば「yを固定してA(y) = {x| ∃t(t∈R ∧ f(x,y,t)=0) }を求める」というやり方でも構わない。
　包絡線で囲まれた領域がAであるなら、No.5でご紹介した方法で包絡線を求めるのも良い。
　まあ、好き勝手に攻めれば良いので、そうでなくては面白くも何ともないじゃありませんか。

tによる微分が全く無力である一例として
f(x,y,t) = x/y - [t]
は如何でしょう。ここに[t]は「tを越えない最大の整数」です。

お礼

「実数tが変化するとき、曲線y=x^2 + (t^2)x+t^2 がとおりえる範囲を図示せよ」
「実数tが変化するとき、直線y=2tx - (t+1)^2 がとおりえる範囲を図示せよ」という問題なのです。
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ここについてなのですが、上の式をどうやったら下の式になるのでしょうか。２つの式の関係がわかりません。

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　さて、問題にしている曲線がもし
(a) どこかで必ず包絡線と接していて、しかも
(b) パラメータtを微小に動かしたときにその交点も微小に動くのであれば、
パラメータtで決まる曲線とパラメータt+dt (dtは無限小)で決まる曲線との交点のうちの一つは包絡線上にあります。
　直線の場合、交点は高々１個しかありません。ですから(a)(b)が成り立っているなら、２本の直線
y=2tx - (t+1)^2
と
y=2(t+dt)x - (t+dt+1)^2
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問題にしているのはどの直線なのでしょうか。
それと、２本の直線がどうやって出てきたのかわかりません。すいません、よろしくおねがいします。