包絡線がわかりません

質問

「実数tが変化するとき、直線y=2tx - (t+1)^2 がとおりえる範囲を図示せよ」という問題なのです。定石はtの２次方程式として、実数条件より解くのだと思うのですが、包絡線で考えた場合、そのtの２次方程式に実数条件Dを使ったときに出てくる式がなぜ包絡線なのかよくわかりません。これは、直接考えるのではなくて、「tの２次方程式として、実数条件より解いた結果」から考察すると、その軌跡が曲線になるので、もとの直線 y=2tx - (t+1)^2 はその曲線の接線だということでしょうか。それと、問題文の直線 y=2tx - (t+1)^2 とこれに実数条件を使った y=x^ - 2x という式を連立すると、x=t+1 で接するということがわかると思うのですが、このx=t+1がx=3tでもx=4t+3でもtが変数なのだから、図示してみるとどれもy≦x^2 - 2x と同じ領域を表す図になると思うのですが、なぜこれは違うのでしょうか。

回答No.9

newtype

gooで調べた結果、下記ページがありました。その考え方４を見てください。
そこに私が示した微分を使う解法が載っています。
微分を文字を動かす道具ととらえています。（これも私が示しましたね）
残念ながらそれ以上のことは載ってなく、なぜそうやっていいのかが載っていません。受検テクニックなどと表現していますが、技法を真に理解していなければそれらを使ってはいけないということがどうもわかってないようだ。
もしその技法が正しくなかったとしたら？この疑問に答えるためにも、過程を正しく記載しなければならない。
s-wordさんには単なる受検テクニックの話をしているのではないので、下記ページはあくまで「参考」にしてくれたらいいと思います。その後に私のところを読んでいただければいいと思います。

ちなみにs-wordさんが書いた以下のところなんですが、
「問題文の直線 y=2tx - (t+1)^2 とこれに実数条件を使った y=x^ - 2x という式を連立すると、x=t+1 で接するということがわかると」

これは平方完成を使った解法の質問ですね。大学への数学 数学ショートプログラムという本に載っています。この解法はこねくり回している様であまり好きにはなれません。ちゃんと理解すると簡単なのかもしれませんが、最初に習ったのが「微分」による解法なんでこのやり方を飛ばしました。だから出来ません。下記ページを見てください。
またstomachmanさんが微分による解法ではできない問題を出していますが、私が知る限り受検でこのような問題が出ることはなかったと思います。もしこのような問題が出て、いろいろ解法を試してみて出来なかったらあきらめましょう。

以上

参考URL：

http://www.e-t.ed.jp/edotori39021/2bu-kan29.htm

お礼

お返事ありがとうございました。早速いってみました。いろいろな解法があるんですね。今まできっちり系統だって学習していなかったものが体系的になっていたのでつながってきました。どうもありがとうございます。他にも勉強になる問題が、たくさんあるので、ひととおり見てみようと思います。

「ｙ＝２ａｘ＋１－ａ^2・・・　(1)を　ａについて整理すると、ａ^2－２ｘａ＋ｙ－１＝０　　　
両辺をａについて微分すると、２ａ－２ｘ＝０　　　　　∴　　ａ＝ｘ
これを直線の方程式に代入して、ｙ＝２ｘ^2＋１－ｘ^2＝ｘ^2＋１　　(2)　　　　　
ここで(1)(2)より、ｙを消去すると、２ａｘ＋１－ａ^2＝ｘ^2＋１
ｘ^2－２ａｘ＋ａ^2＝０，（ｘ－ａ)^2＝０,
∴ｘ＝ａ（重解）
よって、(1)(2)は、ｘ＝ａで接することがわかる。
また、０≦ａ≦１より、０≦ｘ≦１の範囲で接している。
よって、求める領域は、図の影の部分（境界を含む）」

長くなりましたが、少し気になったことがあるので質問させてください。微分前の式と微分後の式ではその関係性が保たれているので、微分して出てきたａ＝ｘを(1)に代入できると思うのですが、なぜ微分してもその関係性が保たれているのかがピンときません。全く違う式なので理解できないのですが。それと、「０≦ａ≦１より、０≦ｘ≦１の範囲で接している。」の部分なのですが、これはx=aから導かれてきたと考えて良いのでしょうか。すいませんよろしくお願いします。これからもう一度書き込んでいただいた内容を振り返ってみたいと思います。どうもありがとうございました。