包絡線がわかりません

質問

「実数tが変化するとき、直線y=2tx - (t+1)^2 がとおりえる範囲を図示せよ」という問題なのです。定石はtの２次方程式として、実数条件より解くのだと思うのですが、包絡線で考えた場合、そのtの２次方程式に実数条件Dを使ったときに出てくる式がなぜ包絡線なのかよくわかりません。これは、直接考えるのではなくて、「tの２次方程式として、実数条件より解いた結果」から考察すると、その軌跡が曲線になるので、もとの直線 y=2tx - (t+1)^2 はその曲線の接線だということでしょうか。それと、問題文の直線 y=2tx - (t+1)^2 とこれに実数条件を使った y=x^ - 2x という式を連立すると、x=t+1 で接するということがわかると思うのですが、このx=t+1がx=3tでもx=4t+3でもtが変数なのだから、図示してみるとどれもy≦x^2 - 2x と同じ領域を表す図になると思うのですが、なぜこれは違うのでしょうか。

回答No.14

stomachman

x,yはtと無関係？
x,y,tをそれぞれ好きな値にして
　　y=2tx-(t+1)^2
が成り立つ訳じゃないでしょう？
あるいは、x, yがtと関係ないのなら、どうしてx=t+1なんて関係が出てくるんでしょう？

おかしなことが起こるのは、x,yの意味を式によってころころ変えてしまっているからです。　No.2では<x,y>は初めのうちは直線上の任意の点を表していたのが、いつのまにやら包絡線上の点を表すものに化けている。これらをきちんと区別してみましょう。

二本の直線
　　y=2tx-(t+1)^2
　　y=2(t+δ)x-(t+δ+1)^2
の交点を<x[δ],y[δ]>とする。
より正確には、
L[t] = {<x,y> | y=2tx-(t+1)^2}
とするとき、
{<x[δ],y[δ]>} = L[t] ∩ L[t+δ]
です。
つまり連立方程式
　　y[δ]=2tx[δ]-(t+1)^2
　　y[δ]=2(t+δ)x[δ]-(t+δ+1)^2
の解が<x[δ],y[δ]>である。
そしてδ→0としたときの交点、すなわち<x[0],y[0]>は包絡線上にある（なぜ包絡線上に来るかは、ここでは＼(^^＼) (／^^)／置いといて）。

　具体的に解いてみましょう。y[δ]を消去して
2tx[δ]-(t+1)^2 =2(t+δ)x[δ]-(t+δ+1)^2
移項して
0 = 2δx[δ]-2δ(t+1)-δ^2
よって
x[δ] = (t+1)+δ/2
y[δ] =2t((t+1)+δ/2)-(t+1)^2 = ｔ^2+δt-1
です。そして
<x[0],y[0]>＝lim {δ→0} <x[δ],y[δ]>
ですから、
x[0] = t+1
y[0] = t^2-1

ちょっとやり方を変えてこの計算をしてみましょう。
　　y[δ]=2tx[δ]-(t+1)^2
　　y[δ]=2(t+δ)x[δ]-(t+δ+1)^2
差を取ると
　　0 = 2δx[δ]-((t+δ+1)^2 - (t+1)^2)
両辺をδで割ると
　　0 = 2x[δ]-((t+δ+1)^2 - (t+1)^2)/δ
δ→0の極限を取ると
　　0 = 2x[0] - lim{δ→0}((t+δ+1)^2 - (t+1)^2)/δ
このlimの中身は d((t+1)^2)/dt に他なりませんから
　　0 = 2x[0] - d((t+1)^2)/dt
この微分を計算すると
　　0 = 2x[0] - 2(t+1)
かくて
x[0] = t+1
を得ます。

これがNo.2の方法で旨く行っちゃうからくりです。

お礼

＞おかしなことが起こるのは、x,yの意味を式によってころころ変えてしまっているからです。　No.2では<x,y>は初めのうちは直線上の任意の点を表していたのが、いつのまにやら包絡線上の点を表すものに化けている。これらをきちんと区別してみましょう。

なるほど、区別するとこうなるのですね。お返事どうもありがとうございます。なるほど、そういうことだったのですか、わかりました。どうもありがとうございました。